Aufgabe 4.11: On-Off-Keying und Binary Phase Shift Keying

OOK- und BPSK-Signalraumkonstellation

Die Grafik zeigt Signalraumkonstellationen für trägermodulierte Modulationsverfahren:

On–Off–Keying (OOK), in anderen LNTwww–Büchern auch als Amplitude Shift Keying (ASK) bezeichnet, sowie
Binary Phase Shift Keying (BPSK).

Für die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit gehen wir vom AWGN–Kanal aus. In diesem Fall ist die Fehlerwahrscheinlichkeit (bezogen auf Symbole oder auf Bit gleichermaßen):

$$p_{\rm S} = p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet

$d$ den Abstand der Signalraumpunkte, und
$\sigma_n^2 = N_0/2$ die Varianz des AWGN–Rauschens.

In den Teilfragen ab (3) wird zudem auf die mittlere Signalenergie $E_{\rm S}$ Bezug genommen.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation.
Weiter wird die hier behandelte Thematik auch im Kapitel Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation dieses Buches sowie im Kapitel Lineare digitale Modulation des Buches „Modulationsverfahren” ausführlich behandelt.
Verwenden Sie für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion die folgende Näherung:

$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

$b$ =

$M$ =

	die Darstellung im (tatsächlichen) Bandpassbereich,
	die Darstellung im (äquivalenten) Tiefpassbereich?

$E_{\rm S}/N_0 = 9 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}$ =

$\ \cdot 10^{\rm –2}$

$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}$ =

$\ \cdot 10^{\rm –4}$

$E_{\rm S}/N_0 = 9 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}$ =

$\ \cdot 10^{\rm –5}$

$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}$ =

$\ \cdot 10^{\rm –8}$

Musterlösung

(1) Sowohl OOK als auch BPSK sind binäre Modulationsverfahren:

$$\underline{b = 1 }\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{M = 2} \hspace{0.05cm}.$$

(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2, erkennbar an der imaginären Basisfunktion $\varphi_2(t) = j \cdot \varphi_1(t)$. Bei Beschreibung im Bandpassbereich wären die Basisfunktionen cosinus– und (minus–)sinusförmig reell.

(3) Die vorgegebene Gleichung lautet bei On–Off–Keying (OOK) mit $d = E^{\rm 1/2}$, $E_{\rm S} = E/2$ (wobei gleichwahrscheinliche Symbole $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ vorausgesetzt sind) und $\sigma_n^2 = N_0/2$:

$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right )= {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E}/2}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ \frac{ E/2}{ N_0} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Für $E_{\rm S}/N_0 = 9 = 3^2$ ergibt sich somit:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} (3) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 3} \cdot {\rm e}^{-9/2} = \underline{0.148 \cdot 10^{-2}} \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend gilt für $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm S}/N_0) = 12 \ \rm dB$ ⇒ $E_{\rm S}/N_0 = 15.85$:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{15.85}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 15.85} } \cdot {\rm e}^{-15.85/2} = \underline{0.362 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Im Unterschied zur Teilaufgabe (3) gilt nun $d = 2 \cdot E^{\rm 1/2}$ und $E_{\rm S} = E$, beides sogar unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten für $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$. Daraus folgt:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Mit $E_{\rm S}/N_0 = 9$ ergibt sich daraus der Zahlenwert:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{18}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 18} } \cdot {\rm e}^{-18/2} = \underline{0.117 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm},$$

und mit $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ \rm dB$ ⇒ $2E_{\rm S}/N_0 = 31.7$:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{31.7}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 31.7} } \cdot {\rm e}^{-31.7/2} = \underline{0.926 \cdot 10^{-8}}\hspace{0.05cm}.$$