Aufgabe 4.13: Vierstufige QAM

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Signalraumkonstellation der 4–QAM

Wir betrachten nun eine Quadraturamplitudenmodulation mit $M = 4$ Symbolen und den (normierten) Signalraumpunkten

$$\boldsymbol{ s}_{\rm A} = (+1, +1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm B} = (-1, +1)\hspace{0.05cm},$$

$$ \boldsymbol{ s}_{\rm C} = (-1, -1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm D} = (+1, -1) \hspace{0.05cm}.$$

Die Symbole sind gleichwahrscheinlich. Damit kann man zur Berechnung der mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit auf die Mittelung verzichten.

Beispielsweise gilt:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) \hspace{0.05cm}.$$

Die Zuordnung der Symbole zu Bitdupeln kann ebenfalls der Grafik (rote Beschriftungen) entnommen werden. Hierbei ist die Graycodierung vorausgesetzt.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf die Theorieseite 6 von Kapitel 4.4.
• Für die Teilaufgabe (4) ist der (zeitdiskrete) AWGN–Kanal mit der Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$ vorausgesetzt.
• Für die Wahrscheinlichkeit, dass durch dessen Rauschsignal $n$ ein Symbol horizontal oder vertikal verfälscht wird, gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion:

$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n) \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Geben Sie als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ die „Union Bound” an ($p_{\rm UB} ≥ p_{\rm S}$). Es gelte $p = 0.1$.

$p_{\rm UB}$ =

2

Wie groß ist die tatsächliche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit?

$p_{\rm S}$ =

3

Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Graycodierung?

$p_{\rm B}$ =

4

Welcher Zusammenhang besteht zwischen $p_{\rm B}$ und $E_{\rm B}/N_0$?

	$p_{\rm B} = {\rm Q}[(E_{\rm B}/N_0)^{\rm 1/2}]$,
	$p_{\rm B} = {\rm Q}[(2E_{\rm B}/N_0)^{\rm 1/2}]$,
	$p_{\rm B} = {\rm Q}[(E_{\rm B}/2N_0)^{\rm 1/2}]$,

Musterlösung

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