Aufgabe 1.6Z: Rayleigh und Rice im Vergleich
In dieser Aufgabe sollen Rayleigh–Fading und Rice–Fading miteinander verglichen werden.
Die Grafik zeigt den komplexen Faktor $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$ in der komplexen Ebene. Für das TP–Sendesignal $s(t) = 1$, was bezüglich eines BP–Systems einer Cosinusschwingung mit der Amplitude $1$ entspricht, ist das TP–Empfangssignal $r(t)$ identisch mit $z(t)$.
Das obere Diagramm beschreibt Rayleigh–Fading, wobei die Komponentensignale $x(t)$ und $y(t)$ jeweils gaußverteilt sind mit Varianz $\sigma^2$. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Betrags $a(t) = |z(t)|$ lautet für $a ≥ 0$:
- $$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 }{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$$
Der quadratische Erwartungswert von $z(t)$ ist $1$:
- $${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \sigma^2 = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707 \hspace{0.05cm}.$$
Das untere Phasendiagramm entsteht bei Rice–Fading. Auch hier sind $x(t)$ und $y(t)$ gaußverteilt mit Varianz $\sigma^2$, aber nun mit Mittelwert $x_0$ bzw. $y_0$.
Die WDF lautet mit der modifizierten Besselfunktion ${\rm I}_0$ für $a ≥ 0$:
- $$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
Der quadratische Mittelwert beinhaltet nun auch die Direktkomponente $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$:
- $${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \cdot \sigma^2 + |z_0|^2 \hspace{0.05cm}.$$
Für den Systemvergleich
- wird von konstantem ${\rm E}[|z(t)|^2] = 1$ ausgegangen,
- wird beim Rice–Fading von der aus der Grafik erkennbaren Vorzugsrichtung ausgegangen,
- sei die Leistung zwischen Direktpfad ($|z_0|^2$) Streupfaden ($2\sigma^2$) im Verhältnis $4:1$ aufgeteilt.
Für die Teilaufgaben (1) bis (4) gelte $s(t) = 1$, während in den Teilaufgaben (5) bzw. (6) ein BPSK–Signal vorausgesetzt wird. Das TP–Signal $s(t)$ hat somit einen rechteckförmigen Verlauf mit den möglichen Werten $±1$. Die Dauer eines Rechteckimpulses sei $T = 10 \ \rm ms$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente.
- Die in der Grafik eingezeichneten Kreise (violett und grün) beziehen sich auf die Teilaufgaben (3) und (4).
Fragebogen
Musterlösung
