Aufgabe 1.7: WDF des Rice–Fadings

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Wie aus der Grafik zu ersehen, betrachten wir das gleiche Szenario wie in Aufgabe A1.6

Rice–Fading mit der Varianz $\sigma^ = 1$ der Gaußprozesse und dem Parameter $|z_0|$ für den Direktpfad.
Hinsichtlich Direktpfad interessieren wir uns für die Parameterwerte $|z_0|^2 = 0, 2, 4, 10$ und $20$ (siehe Grafik).
Die WDF des Betrags $a(t) = |z(t)|$ ist

$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.$$

Die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung liefert folgende Werte:

$${\rm I }_0 (2) = 2.28\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm I }_0 (4) = 11.30\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm I }_0 (3) = 67.23 \hspace{0.05cm}.$$

Der quadratische Erwartungswert ⇒ Leistung des multiplikativen Faktors $|z(t)|$, ist gleich

$${\rm E}\left [ a^2 \right ] = {\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \cdot \sigma^2 + |z_0|^2 \hspace{0.05cm}.$$

Mit $z_0 = 0$ wird aus dem Rice–Fading das kritischere Rayleigh–Fading. In diesem Fall gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass $a$ im gelb hintergelegten Bereich zwischen $0$ und $1$ liegt:

$$ {\rm Pr}(a \le 1) = 1 - {\rm e}^{-0.5/\sigma^2} \approx 0.4 \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(a ≤ 1)$ für $|z_0| ≠ 0$ angenähert werden. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten, nämlich

Die Dreiecksnäherung:

$${\rm Pr}(a \le 1) = {1}/{2} \cdot f_a(a=1) \hspace{0.05cm}.$$

die Gaußnäherung: Ist $|z_0| >> \sigma$, so kann die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert $|z_0|$ und Streuung $\sigma$ angenähert werden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente.
Für die numerischen Lösungen zu den letzten Teilaufgaben empfehlen wir das folgende Interaktionsmodul: [Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]

Fragebogen

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5)

	correct
	false