Aufgabe 2.1Z: 2D-Frequenz- und 2D-Zeitdarstellung
Zur Beschreibung eines zeitvarianten Kanals mit mehreren Pfaden verwendet man die zweidimensionale Impulsantwort
- $$h(\tau,\hspace{0.05cm}t) = \sum_{m = 1}^{M} z_m(t) \cdot {\rm \delta} (\tau - \tau_m)\hspace{0.05cm}.$$
Der erste Parameter ($\tau$) kennzeichnet die Verzögerungszeit, der zweite ($t$) macht Aussagen über die Zeitvarianz. Durch die Fouriertransformation von $h(\tau, t)$ kommt man schließlich zur zeitvarianten Übertragungsfunktion
- $$H(f,\hspace{0.05cm} t) \hspace{0.2cm} \stackrel {f,\hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.05cm}t) \hspace{0.05cm}.$$
In der Grafik ist $H(f, t)$ in Abhängigkeit der Frequenz dargestellt, und zwar für verschiedene Werte der absoluten Zeit $t$ im Bereich von $0 \ ... \ 10 \ \rm ms$.
Im Allgemeinen ist $H(f, t)$ komplex. Der Realteil ist oben und der Imaginärteil unten separat gezeichnet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme.
- In obiger Gleichung wird ein echofreier Kanal mit dem Paramter $M = 1$ dargestellt.
- Hier noch einige Zahlenwerte der vorgegebene zeitvarianten Übertragungsfunktion:
- $$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0\, {\rm ms}) \approx 0.3 - {\rm j} \cdot 0.4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) \approx 0.0 - {\rm j} \cdot 1.3 \hspace{0.05cm},$$
- $$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 4\, {\rm ms}) \approx 0.1 - {\rm j} \cdot 1.5 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 6\, {\rm ms}) \approx 0.5 - {\rm j} \cdot 0.8 \hspace{0.05cm},$$
- $$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 8\, {\rm ms}) \approx 0.9 - {\rm j} \cdot 0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 10\, {\rm ms}) \approx 1.4 \hspace{0.05cm}.$$
Wie schon aus der obigen Grafik zu erahnen ist, sind weder der Realteil noch der Imaginärteil der zweidimensionalen Übertragungsfunktion $H(f, t)$ mittelwertfrei.
Fragebogen
Musterlösung
