Aufgabe 2.9: Korrelationsdauer
Im Frequenzbereich wird der Einfluss des Rayleigh–Fadings durch das Jakes–Spektrum beschrieben. Mit dem Rayleigh–Parameter $\sigma = 2^{–0.5}$ (Wurzel aus $1/2$) gilt für dieses im Doppler–Frequenzbereich $|f_{\rm D}| ≤ f_{\rm D, \ max}$:
- $${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D}) = \frac{1}{ \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot \sqrt{1 - \left (\frac{f_{\rm D}}{f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}} \right )^2} } \hspace{0.05cm}.$$
Diese Funktion ist hier für $f_{\rm D, \ max} = 50 \ \rm Hz$ (blaue Kurve) und für $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$ (rote Kurve) dargestellt.
Die Funktion $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ ist die Fourierrücktransformierte des Doppler–Leistungsdichtespektrums ${\it \Phi}_{\rm D}(f)$:
- $$\varphi_{\rm Z}(\Delta t ) = {\rm J}_0(2 \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot \Delta t ) \hspace{0.05cm}.$$
${\rm J}_0$ bezeichnet die Besselfunktion nullter Ordnung. Diese ebenfalls symmetrische Korrelationsfunktion $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ ist unten skizziert, aus Platzgründen allerdings nur die rechte Hälfte.
Aus jeder dieser beiden Beschreibungsfunktionen lässt sich eine Kenngröße ableiten:
- Die Dopplerverbreiterung $B_{\rm D}$ bezieht sich auf das Doppler–LDS ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ und gibt dessen Streuung $\sigma_D$ an. Zu berücksichtigen ist, dass das Jakes–Spektrum mittelwertfrei ist, so dass die Varianz $\sigma_D^2$ nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert ${\rm E}[f_{\rm D}^2]$ ist. Die Berechnung geschieht analog zur Bestimmung der Mehrwegeverbreiterung $T_{\rm V}$ aus dem Verzögerungs–LDS ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ ⇒ Aufgabe A2.7.
- Die Korrelationsdauer $T_{\rm D}$ bezieht sich dagegen auf die Zeitkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ und gibt denjenigen $\Delta t$–Wert an, bei dem deren Betrag erstmals auf die Hälfte ihres Maximums (stets bei $\Delta t = 0$) abgefallen ist. Man erkennt die Analogie zur Bestimmung der Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$ aus der Frequenzkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ ⇒ Aufgabe A2.7.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme und das Kapitel Das GWSSUS–Kanalmodell.
- Gegeben ist das folgende unbestimmte Integral:
- $$\int \frac{u^2}{\sqrt{1-u^2}} \hspace{0.15cm}{\rm d} u = -\frac{u}{2} \cdot \sqrt{1-u^2} + \frac{1}{2} \cdot {\rm arcsin}\,(u) \hspace{0.05cm}.$$
- Abschließend noch einige Werte für die Besselfunktion nullter Ordnung (${\rm J}_0$):
- $${\rm J}_0(\pi/2) = 0.472\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm J}_0(1.52) = 0.500\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm J}_0(\pi) = -0.305\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm J}_0(2\pi) = 0.221 \hspace{0.05cm}.$$
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
