Aufgabe 5.3: AWGN- und BSC-Modell

AWGN–Kanal und BSC–Modell

Die Grafik zeigt oben das analoge Kanalmodell eines digitalen Übertragungssystems, wobei das additive Rauschsignal $n(t)$ mit der Rauschleistungsdichte $N_0/2$ wirksam ist. Es handelt sich um AWGN–Rauschen. Die Varianz des Rauschanteils vor dem Entscheider (nach dem Matched–Filter) ist dann

$$\sigma^2 = \frac{N_0}{2T} \hspace{0.05cm}.$$

Weiter soll gelten:

Es treten keine Impulsinterferenzen auf. Wurde das Symbol $q_{\nu} = \mathbf{H}$ gesendet, so ist der Nutzanteil des Detektionssignal gleich $+s_0$, bei $q_{\nu} = \mathbf{L}$ dagegen $-s_0$.
Der Schwellenwertentscheider berücksichtigt eine Schwellendrift, das heißt, die Schwelle $E$ kann durchaus vom Optimalwert $E = 0$ abweichen. Die Entscheidungsregel lautet:

$$\upsilon_\nu = \left\{ \begin{array}{c} \mathbf{H} \\ \mathbf{L} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.15cm}d (\nu \cdot T) > E \hspace{0.05cm}, \\ {\rm falls} \hspace{0.15cm} d (\nu \cdot T) \le E\hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$

Mit dem Schwellenwert $E = 0$ ergibt sich die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zu

$$p_{\rm M} = {\rm Q} \left ( {s_0}/{\sigma} \right ) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$

Die untere Grafik zeigt ein digitales Kanalmodell, das durch die vier Übergangswahrscheinlichkeiten $p_1, p_2, p_3$ und $p_4$ charakterisiert ist. Dieses soll an das analoge Kanalmodell angepasst werden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Binary Symmetric Channel (BSC).
Zahlenwerte der Q–Funktion können mit dem interaktiven Applet Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen ermittelt werden.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

$s_0/\sigma\ = \ $

	dass die Quellensymbole $\mathbf{L}$ und $\mathbf{H}$ gleichwahrscheinlich sind,
	dass das Quellensymbol $\mathbf{L}$ deutlich häufiger auftritt als $\mathbf{H}$?.

$p_1 \ = \ $

$p_2 \ = \ $

$p_3 \ = \ $

$p_4 \ = \ $

	dass die Quellensymbole $\mathbf{L}$ und $\mathbf{H}$ gleichwahrscheinlich sind,
	dass das Quellensymbol $\mathbf{L}$ deutlich häufiger auftritt als $\mathbf{H}$?.

	$p_{\rm M}$ ist beim BSC–Modell ($E = 0$) unabhängig von $p_{\rm L}$ und $p_{\rm H}$.
	$p_{\rm M}$ ist beim BSC–Modell ($E = 0$) für $p_{\rm L} = p_{\rm H}$ am kleinsten.
	Für $p_{\rm L} = 0.9$, $p_{\rm H} = 0.1$ und $E = +s_0/4$ ist $p_{\rm M}$ kleiner als $1\%$.

Musterlösung

(1) Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt $p_{\rm M} = Q(s_0/\sigma) = 0.01$. Daraus folgt für den Quotienten aus Detektionsnutzabtastwert und Detektionsstöreffektivwert:

$${s_0}/{\sigma}= {\rm Q}^{-1} \left ( 0.01 \right ) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.32}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Mit $E = 0$ ergibt sich für die Wahrscheinlichkeiten des vorgegebenen digitalen Kanalmodells:

$$p_2 = p_3 = p = 0.01 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_1 = p_4 = 1-p = 0.99\hspace{0.05cm}.$$

Ein Vergleich mit dem Theorieteil zeigt, dass dieses Kanalmodell dem BSC–Modell entspricht, und zwar unabhängig von der Statistik der Quellensymbole. Richtig sind also beide Lösungsvorschläge.

(3) Die Übergangswahrscheinlichkeit $p_2$ beschreibt den Fall, dass die Enscheiderschwelle $E = 0.25 \cdot s_0$ fälschlicherweise unterschritten wurde. Dann ist $\upsilon_{\nu} = \mathbf{L}$, obwohl $q_{\nu} = \mathbf{H}$ gesendet wurde. Der Abstand von der Schwelle beträgt somit nur $0.75 \cdot s_0$ und es gilt:

$$p_{\rm 2} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}{\rm Q} \left ( \frac{0.75 \cdot s_0}{\sigma} \right ) = {\rm Q} \left ( 0.75 \cdot 2.32 \right ) = {\rm Q} \left ( 1.74 \right )\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.041}\hspace{0.05cm}, $$

$$p_{\rm 1} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}1 - p_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.959}\hspace{0.05cm}.$$

In ähnlicher Weise können die Übergangswahrscheinlichkeiten $p_3$ und $p_4$ berechnet werden, wobei nun vom Schwellenabstand $1.25 \cdot s_0$ auszugehen ist:

$$p_{\rm 3} = {\rm Q} \left ( 1.25 \cdot 2.32 \right ) = {\rm Q} \left ( 2.90 \right )\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm 4} = 1 - p_{\rm 3}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.998}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Mit der Entscheiderschwelle $E ≠ 0$ ist das BSC–Modell unabhängig von der Symbolstatistik nicht anwendbar, da die Symmetrieeigenschaft (das Kennzeichen „S” in „BSC”) nicht gegeben ist. Keiner der beiden Lösungsvorschläge trifft zu.

(5) Die Aussagen 1 und 3 treffen zu, nicht aber Aussage 2. Beim BSC–Modell ist $p_{\rm M} = 1\%$ unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm L}$ und $p_{\rm H}$. Dagegen gilt für $p_{\rm L} = 0.9$, $p_{\rm H} = 0.1$ sowie $E = +s_0/4$:

$$p_{\rm M} = 0.9 \cdot p_{\rm 3} + 0.1 \cdot p_{\rm 2}= 0.9 \cdot 0.2\% + 0.1 \cdot 4.1\% \approx 0.59\% \hspace{0.05cm}.$$

Das Minimum ergibt sich für $p_{\rm L} = 0.93$ und $p_{\rm H} = 0.07$ zu $p_{\rm M} \approx 0.45\%$.