Aufgabe 3.3: Codesequenzberechnung über U(D) und G(D)

Betrachtete Generatormatrix

Nebenstehend ist für den betrachteten Faltungscode der linke obere Ausschnitt der Generatormatrix $\mathbf{G}$ dargestellt. Daraus sollen unter der Randbedingung $m ≤ 2$ die Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ extrahiert werden, womit dann die Übergangsfunktionsmatrix entsprechend folgender Gleichung zusammengestellt werden kann:

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \sum_{l = 0}^{m} {\boldsymbol{\rm G}}_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l =$$

$$ \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + ... \hspace{0.05cm}+ {\boldsymbol{\rm G}}_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m \hspace{0.02cm}.$$

Gesucht werden die $n$ Codesequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \ ... \ , \ \underline{x}^{(n)}$, wobei von der Informationssequenz

$$\underline{u} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm}) $$

auszugehen ist. Diese Sequenz ist dabei in $k$ Teilsequenzen $\underline{u}^{(1)}, \ \underline{u}^{(2)}, \ ... \ , \ \underline{u}^{(k)}$ aufzuspalten. Aus deren $D$–Transformierten

$${U}^{(1)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(1)},\hspace{0.25cm} ...\hspace{0.25cm},\hspace{0.05cm} {U}^{(k)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(k)} $$

wird dann der Vektor $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \ ... \ , \ U^{(k)}(D))$ gebildet. Dann gilt für den Codesequenzvektor in $D$–Darstellung:

$$\underline{X}(D) = \left (\hspace{0.05cm} {X}^{(1)}(D)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.12cm}, \hspace{0.05cm} {X}^{(k)}(D)\hspace{0.05cm}\right ) = \underline{U}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D)\hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Algebraische und polynomische Beschreibung.
Der hier zugrunde liegende Codierer ist identisch mit dem von Aufgabe A3.2.
Nachdem auch von der gleichen Informationssequenz $\underline{u}$ ausgegangen wird, muss sich hier die gleiche Codesequenz $\underline{x}$ ergeben wie in Aufgabe A3.2, siehe Musterlösung.
Die Lösungswege beider Aufgaben unterscheiden sich allerdings grundlegend.

Fragebogen

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5)

	Das $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 1, Spalte 1 ist „$1$”.
	Das $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 2, Spalte 2 ist „$1 + D$”.
	Das $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 3, Spalte 3 ist „$1 + D^2$”.

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