Aufgabe 3.10: Fehlergrößenberechnung
Im Theorieteil zu diesem Kapitel wurde die Berechnung der Fehlergrößen ${\it \Gamma}_i(S_{\mu})$ ausführlich behandelt, die auf der Hamming–Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}', \ \underline{y}_i)$ zwischen den möglichen Codeworten $\underline{x}' ∈ \{00, \, 01, \, 10, \, 11\}$ und den zu dem Zeitpunkt $i$ empfangenen 2–Bit–Worten $\underline{y}_i$ basiert.
Die Aufgabe beschäftigt sich genau mit dieser Thematik. In nebenstehender Grafik
- ist das betrachtete Trellis dargestellt – gültig für den Code mit Rate $R = 1/2$, Gedächtnis $m = 2$ sowie $\mathbf{G}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$,
- sind die Empfangsworte $\underline{y}_1 = (01), \ ... \ , \ \underline{y}_7 = (11)$ in den Rechtecken angegeben,
- sind bereits alle Fehlergrößen ${\it \Gamma}_0(S_{\mu}), \ ... \ , \ {\it \Gamma}_4(S_{\mu})$ eingetragen.
Beispielsweise ergibt sich die Fehlergröße ${\it \Gamma}_4(S_0)$ mit $\underline{y}_4 = (01)$ als das Minimum der beiden Vergleichswerte
- ${\it \Gamma}_3(S_0) + d_{\rm H}((00), \ (01)) = 3 + 1 = 4$, und
- ${\it \Gamma}_3(S_2) + d_{\rm H}((11), \ (01)) = 2 + 1 = 3$.
Der überlebende Zweig – hier von ${\it \Gamma}_3(S_2)$ nach ${\it \Gamma}_4(S_0)$ – ist durchgezogen gezeichnet, der eliminierte Zweig von ${\it \Gamma}_3(S_0)$ nach ${\it \Gamma}_4(S_0)$ punktiert. Rote Pfeile stehen für das Informationsbit $u_i = 0$, blaue Pfeile für $u_i = 1$.
In der Teilaufgabe (4) soll der Zusammenhang zwischen ${\it \Gamma}_i(S_{\mu})$–Minimierung und ${\it \Lambda}_i(S_{\mu})$–Maximierung herausgearbeitet werden. Hierbei bezeichnet man die Knoten $\Lambda_i(S_{\mu})$ als Metriken, wobei sich der Metrikzuwachs gegenüber den Vorgängerknoten aus dem Korrelationswert $〈\underline{x}_i', \, \underline{y}_i 〉$ ergibt. Näheres zu dieser Thematik finden Sie auf den folgenden Theorieseiten:
- Zusammenhang zwischen Hamming–Distanz und Korrelation,
- Viterbi–Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken (1),
- Viterbi–Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken (2).
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Decodierung von Faltungscodes.
- Vorerst nicht betrachtet wird die Suche der überlebenden Pfade. Damit beschäftigt sich für das gleiche Beispiel die nachfolgende Aufgabe A3.11.
Fragebogen
Musterlösung
