Aufgabe 3.12: Pfadgewichtsfunktion

Faltungscodierer mit $m = 1$ und zugehöriges Zustandsübergangsdiagramm

In Aufgabe A3.6 wurde das Zustandsübergangsdiagramm für den gezeichneten Faltungscoder mit den Eigenschaften

Rate $R = 1/2$,
Gedächtnis $m = 1$,
Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D) = (1, \, D)$

ermittelt, das ebenfalls rechts dargestellt ist.

Es soll nun aus dem Zustandsübergangsdiagramm

die Pfadgewichtsfunktion $T(X)$, und
die erweiterte Pfadgewichtsfunktion $T_{\rm enh}(X, \, U)$

bestimmt werden, wobei $X$ und $U$ Dummy–Variablen sind.

Die Vorgehensweise ist im Theorieteil zu diesem Kapitel eingehend erläutert. Schließlich ist aus $T(X)$ noch die freie Distanz $d_{\rm F}$ zu bestimmen.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken
Berücksichtigen Sie bei der Lösung die Reihenentwicklung

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}.$$

Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5)

	Der Zustand $S_0$ muss in $S_0$ und $S_0'$ aufgespalten werden.
	Der Zustand $S_1$ muss in $S_1$ und $S_1'$ aufgespalten werden.
	Der Übergang von $S_0$ nach $S_1$ ist mit $UX^2$ zu beschriften.
	Der Übergang von $S_1$ nach $S_1$ ist mit $UX$ zu beschriften.
	Der Übergang von $S_1$ nach $S_0'$ ist mit $X$ zu beschriften.

	$T_{\rm enh}(X, \, U) = U^2X^3$
	$T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^3/(1 –UX)$
	$T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^3 + U^2X^4 + U^3X^5 + \, ...$

	$T(X) = X^3/(1 –X)$,
	$T(X) = X^3 + X^4 + X^5 + \, ... $