Aufgabe 3.14: Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken

Unvollständige Tabelle für Bhattacharyya– und Viterbi–Schranke

Für den häufig verwendeten Faltungscode mit

der Coderate $R = 1/2$,
dem Gedächtnis $m = 2$,
der Übertragungsfunktionsmatrix

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 + D + D^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1 + D^2 \hspace{0.05cm}\big ) $$

lautet die erweiterte Pfadgewichtsfunktion:

$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{UX^5}{1- 2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X} \hspace{0.05cm}.$$

Mit der schon häufiger benutzten Reihenentwicklung $1/(1 \, –x) = 1 + x + x^2 + \ ... $ kann hierfür auch geschrieben werden:

$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 \cdot \left [ 1 + (2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X) + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^2 + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^3 + ... \hspace{0.10cm} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Die „einfache” Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ ergibt sich daraus, wenn man die zweite Variable $U = 1$ setzt.

Anhand dieser Funktionen können Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken angegeben werden:

Die Burstfehlerwahrscheinlichkeit wird durch die Bhattacharyya–Schranke begrenzt:

$${\rm Pr(Burstfehler)} \le {\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta) \hspace{0.05cm}.$$

Dagegen ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit stets kleiner (oder gleich) der Viterbi–Schranke:

$${\rm Pr(Bitfehler)} \le {\rm Pr(Viterbi)} = \left [ \frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.2cm}T_{\rm enh}(X, U) \right ]_{\substack{X=\beta \ U=1}} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel ....
Der Bhattacharyya–Parameter für BSC lautet:

$$\beta = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon \cdot (1- \varepsilon)} \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5)

	correct
	false