Aufgabe 4.11Z: Coderate aus der Prüfmatrix

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Vorgegebene Prüfmatrizen

In dieser Aufgabe sollen die Coderaten der Codes $C_1, \, C_2, \, C_3$ und $C_4$ ermittelt werden, wobei die Codes allein durch ihre Prüfmatrizen gegeben sind. Eine untere Schranke für die Coderate $R$ lautet:

$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]} \hspace{0.05cm}.$$

Sind die $m$ Prüfgleichungen aller Matrix–Zeilen linear unabhängig, so gilt in obiger Ungleichung das Gleichheitszeichen.

Verwendet ist hier die folgende Nomenklatur:

• $w_{\rm Z}(j)$ mit $1 ≤ j ≤ m$ ist das Hamming–Gewicht der $j$–ten Zeile der Prüfmatrix.
• Durch Erwartungswertbildung ergibt sich:

$${\rm E}[w_{\rm Z}] =\frac{1}{m} \cdot \sum_{j = 1}^{m} w_{\rm Z}(j)\hspace{0.05cm}.$$

• Entsprechend gibt $w_{\rm S}(i)$ mit $1 ≤ i ≤ n$ das Hamming–Gewicht der $i$–ten Spalte von $\mathbf{H}$ an, mit dem Erwartungswert

$${\rm E}[w_{\rm S}] =\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} w_{\rm S}(i)\hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

$\mathbf{H}$ beschreibt einen systematischen Code. Wie lauten dessen Parameter?

$n \ = \ $

$k \ = \ $

$m \ = \ $

2

Wie groß ist die Coderate des Codes $C_1$ mit der Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$?

$C_1 \text{:} \hspace{0.2cm} R \ = \ $

3

Wie groß ist die Coderate des Codes $C_2$ mit der Prüfmatrix $\mathbf{H}_2$?

$C_2 \text{:} \hspace{0.2cm} R \ = \ $

4

Wie groß ist die Coderate des Codes $C_3$ mit der Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$?

$C_3 \text{:} \hspace{0.2cm} R \ = \ $

5

Wie groß ist die Coderate des Codes $C_4$ mit der Prüfmatrix $\mathbf{H}_4$?

$C_4 \text{:} \hspace{0.2cm} R \ = \ $

Musterlösung

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