Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2 hoch 4)
Irreduzible und primitive Polynome haben große Bedeutung für die Beschreibung von Verfahren zur Fehlerkorrektur. In LN97 findet man zum Beispiel die folgenden irreduziblen Polynome vom Grad $m = 4$:
- $p(x) = x^4 + x +1$,
- $p(x) = x^4 + x^3 + 1$,
- $p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
Die beiden ersten Polynome sind auch primitiv. Dies erkennt man aus den Potenztabellen, die rechts angegeben sind – die untere Tabelle (B) allerdings nicht ganz vollständig. Aus beiden Tabellen erkennt man, dass alle Potenzen $\alpha^i$ für $1 ≤ i ≤ 14$ in der Polynomdarstellung ungleich $1$ sind. Erst für $i = 15$ ergibt sich
- $$\alpha^{15} = \alpha^{0} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Koeffizientenvektor\hspace{0.15cm} 0001} \hspace{0.05cm}.$$
Nicht angegeben wird, ob sich die rot hinterlegte Tabelle (A) aus dem Polynom $x^4 + x + 1$ oder aus $x^4 + x^3 + 1$ ergibt. Diese Zuordnungen sollen Sie in den Teilaufgaben (1) und (2) treffen. In der Teilaufgabe (3) sollen Sie zudem die fehlenden Potenzen $\alpha^5, \ \alpha^6, \ \alpha^7$ und $\alpha^8$ in der Tabelle (B) ergänzen.
Die Teilaufgabe (4) bezieht sich auf das ebenfalls irreduzible Polynom $p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1$. Entsprechend den oben genannten Kriterien sollen Sie entscheiden, ob dieses Polynom primitiv ist oder nicht.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört ebenfalls zum Themengebiet des Kapitels Erweiterungskörper.
Fragebogen
Musterlösung
