Aufgabe 2.08Z: „Plus” und „Mal” in GF(2 hoch 3)

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$\rm GF(2^3)$: Unvollständige Additions– und Multiplikationstabellen

Die Grafik zeigt die Additions– und Multiplikationstabelle für den endlichen Körper $\rm GF(2^3)$. Die Tabellen sind nicht vollständig. Einige Felder sollen Sie ergänzen.

Die Elemente sind sowohl in der Exponentendarstellung (mit roter Beschriftung, links und oben) als auch in der Koeffizientendarstellung (graue Schrift, rechts und unten) angegeben. Aus dieser Zuordnung erkennt man bereits das zugrunde liegende irreduzible Polynom $p(\alpha)$.

Additionen (und Subtraktionen) führt man am besten in der Koeffizientendarstellung (oder mit den damit fest verknüpften Polynomen) durch. Für Multiplikationen ist dagegen die Exponentendarstellung günstiger.

Hinweis:

• Die Aufgabe bezieht sich auf die Thematik der Kapitel Erweiterungskörper und Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes.

Fragebogen

1

Für welches Element steht „$\rm A$” in der Additionstabelle?

	$\rm A = 0$,
	$\rm A = 1$,
	$\rm A = \alpha^1$,

2

Für welches Element steht „$\rm B$” in der Additionstabelle?

	$\rm B = 0$,
	$\rm B = 1$,
	$\rm B = \alpha^1$.

3

Für welches Element steht „$\rm C$” in der Additionstabelle?

	$\rm C = \alpha^2$,
	$\rm C = \alpha^3$,
	$\rm C = \alpha^4$.

4

Für welches Element steht „$\rm D$” in der Additionstabelle?

	$\rm D = \alpha^2$,
	$\rm D = \alpha^3$,
	$\rm D = \alpha^4$.

5

Welche Zuordnungen gelten in der Multiplikationstabelle?

	$\rm E = \alpha^5$,
	$\rm F = \alpha^2$,
	$\rm G = \alpha^6$.

6

Welches irreduzible Polynom liegt diesen Tabellen zugrunde?

	$p(\alpha) = \alpha^2 + \alpha + 1$,
	$p(\alpha) = \alpha^3 + \alpha^2 + 1$,
	$p(\alpha) = \alpha^3 + \alpha + 1$.

Musterlösung

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