Aufgabe 4.2Z: Korrelation zwischen „x“ und „e hoch x“

Die Zufallsgröße $x$ sei gleichverteilt zwischen $-1$ und $+1$. Damit ist

der Mittelwert $m_x = 0$, und
die Varianz $\sigma_x^2 = 1/3$.

Durch die nichtlineare Kennlinie $y = g(x) = {\rm e}^x$ wird die Zufallsgröße $y $ gebildet. Zwischen den beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ besteht also ein fester, deterministischer Zusammenhang und die Zufallsgröße $y$ kann nur Werte zwischen $1/{\rm e}$ und ${\rm e}$ annehmen.

Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erhält man für diesen Bereich nach dem Prinzip Transformation von Zufallsgrößen:

$$f_y(y) = {\rm 1}/({\rm 2\it y}). $$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Erwartungswerte und Momente.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Berücksichtigen Sie, dass im betrachteten Bereich von $-1 ≤ x ≤ +1$ die Exponentialfunktion wie folgt angenähert werden kann:

$$y={\rm e}^{x}\approx 1+ \frac{ x}{1!} + \frac{{ x}^{\rm 2}}{\rm 2!}+ \frac{{x}^{\rm 3}}{\rm 3!}+ \frac{{x}^{\rm 4}}{\rm 4!}.$$

Fragebogen

$m_y \ = $

$\sigma_y \ = $

	Außerhalb der Kurve $y = {\rm e}^x$ ist $f_{xy}(x, y)= 0$.
	Für alle Werte ($x, {\rm e}^x$ ist die WDF $f_{xy}(x, y)$ konstant.
	Die WDF beschreibt eine Diracwand entlang der Kurve $y = {\rm e}^x$.
	Die Dirachöhe nimmt von links unten nach rechts oben ab.

$m_{xy}\ = $

$\rho_{xy}\ = $

Musterlösung

(1) Der Mittelwert $m_y$ kann in bekannter Weise aus der WDF $f_y(y)$ ermittelt werden. Eine zweite Berechnungsmöglichkeit basiert direkt auf den Rechenregeln für Erwartungswerte: $$m_y={\rm E}[ y] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x) \cdot f_x(x)\,\, {\rm d}x = {1}/{2}\cdot\int_{-1}^{1}{\rm e}^{ x}\,\,{\rm d}x=\rm {1}/{2}\cdot(e-e^{-1}) \hspace{0.15cm}\underline{= 1.175}.$$

(2) Für den quadratischen Mittelwert der Zufallsgröße $y$ gilt: $$m_{2 y} = {\rm E}[ y^{\rm 2}] = {\rm E}[{\rm e}^{ 2 x}]= {1}/{2}\cdot\int_{-1}^{+1}{\rm e}^{2 x} \,\,{\rm d}x = {1}/{4}\cdot({\rm e}^{2}-{\rm e}^{-2}) = 1.813.$$

Daraus erhält man mit dem Satz von Steiner: $$\sigma_y^{\rm 2} = m_{ 2 y}- m_{ y}^2 = {1}/{4}\cdot({\rm e}^{2}-{\rm e}^{-2})-{1}/{4}\cdot( {\rm e}^{2}-2+{\rm e}^{-2})={1}/{2}\cdot(1-{\rm e}^{-2})=0.432 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.658}.$$

(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

Außerhalb der Kurve $y = {\rm e}^x$ ist die WDF natürlich $0$.
Da das Volumen unter der 2D-WDF gleich $1$ ist, sind die WDF-Werte für den unendlich schmalen Bereich $y = {\rm e}^x$ unendlich groß.
Das heißt: Die WDF beschreibt eine gekrümmte Diracwand. Aufgrund des Abfalls der WDF $f_y(y)$ mit steigenden $y$ nimmt die Höhe dieser Diracwand von $(-1, 1/{\rm e})$ bis zu $(+1, {\rm e})$kontinuierlich ab.

(4) Für das gemeinsame Moment gilt: $$m_{xy} = {\rm E}[ x\cdot y] = {\rm E}[ x\cdot {\rm e}^{x}].$$

Mit der angegebenen Reihenentwicklung folgt daraus die Näherung: $$m_{xy} \approx {\rm E}[x] + {\rm E}[x^{\rm 2}] + \frac{1}{2} \cdot {\rm E}[ x^{\rm 3}] + \frac{1}{6} \cdot {\rm E}[ x^{\rm 4}]+ \frac{1}{24} \cdot {\rm E}[ x^{\rm 5}].$$

Aufgrund der Symmetrie der Zufallsgröße $x$ gilt für alle ungeradzahligen Werte von $k$ $\rm E[\it x^{k}\rm ] =\rm 0.$ Weiterhin gilt: $${\rm E}[ x^{\rm 2}] = \sigma_{x}^{\rm 2}= \frac{1}{3}, \hspace{0.5cm} {\rm E}[ x^{\rm 4}] = \frac{1}{2}\int_{-1}^{+1} x^{\rm 4} \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{5}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it m_{xy}} = \rm\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5} = \frac{11}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.367}.$$

(5) Wegen $m_x = 0$ gilt $\mu_{xy} = m_{xy}$. Somit ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten: $$\it \rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}=\rm\frac{0.367}{0.577 \cdot 0.658}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.967}.$$

Zwischen $x$ und $y$ besteht zwar ein eindeutiger deterministischer Zusammenhang. Da aber hierin auch nichtlineare Bindungen enthalten sind, ist der Korrelationskoeffizient $ \rho_{xy} \ne 1$.