Aufgabe 3.4Z: Äquivalente Faltungscodes?

Nichtsystematischer und systematischer Faltungscodierer

Die obere Darstellung zeigt einen Faltungscodierer, der durch folgende Gleichungen beschrieben wird:

$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i-1}^{(1)}+ u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},$$

$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},$$

$$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)}\hspace{0.05cm}.$$

Gesucht sind die Übertragungsfunktionsmatrizen

$\mathbf{G}(D)$ dieses nichtsystematischen Codes, und
$\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ des äquivalenten systematischen Codes.

Die Matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ erhält man in folgender Weise:

Man spaltet von der $k × n$–Matrix $\mathbf{G}(D)$ vorne eine quadratische Matrix $\mathbf{T}(D)$ mit jeweils $k$ Zahlen und Spalten ab. Den Rest bezeichnet man mit $\mathbf{Q}(D)$.
Anschließend berechnet man die zu $\mathbf{T}(D)$ inverse Matrix $\mathbf{T}^{–1}(D)$ und daraus die gesuchte Matrix für den äquivalenten systematischen Code:

$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{0.05cm}.$$

Da $\mathbf{T}^{–1}(D) \cdot \mathbf{T}(D)$ die $k × k$–Einheitsmatrix $\mathbf{I}_k$ ergibt, kann die Übertragungsfunktionsmatrix des äquivalenten systematischen Codes in der gewünschten Form geschrieben werden:

$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big [ \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D) \hspace{0.05cm}\big ] \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \hspace{0.05cm}. \hspace{0.05cm}$$

Die untere Schaltung erzeugt mit Sicherheit einen systematischen Code mit gleichen Parametern $k$ und $n$. In der Teilaufgabe (5) ist zu klären, ob es sich dabei tatsächlich um den äquivalenten systematischen Code handelt. Das heißt, ob sich tatsächlich für die beiden Schaltungen genau die gleiche $\{ \ \underline{x} \ \}$ an Codesequenzen ergibt, wenn man alle möglichen Informationssequenzen $\{ \ \underline{u} \ \}$ berücksichtigt.

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf ein Themengebiet aus dem Kapitel Algebraische und polynomische Beschreibung
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Hier gilt $\underline{k = 2}$ und $\underline{n = 3}$ ⇒ Rate $\underline{R = 2/3}$. Die Gedächtnisordnung $\underline{m = 1}$ (Anzahl der Speicherelemente pro Eingang). Die Einflusslänge ist gleich der Summe aller Speicherelemente ⇒ $\underline{\nu = 2}$.

(2) Das Informationsbit $u_i^{(1)}$ beeinflusst nur den ersten Ausgang $x_i^{(1)}$, während $u_i^{(2)}$ für $x_i^{(2)}$ und $x_i^{(3)}$ herangezogen wird. Damit erhält man für die nullte Teilmatrix:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}. $$

Die verzögerten Eingänge wirken sich wie folgt aus:

$u_{i–1}^{(1)}$ beeinflusst $x_i^{(1)}$,
$u_{i–1}^{(2)}$ beeinflusst $x_i^{(1)}$ und $x_i^{(2)}$:

Somit lauten die Teilmatrix $\mathbf{G}_1$ und die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}}(D) = { \boldsymbol{\rm G}}_0 + { \boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D = \begin{pmatrix} 1+D & 0 & 0\\ D & 1+D & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}. $$

Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 1 und 3. Die Antwort 2 kann schon allein deshalb nicht stimmen, da bei $m = 1$ in der Übertragungsfunktionsmatrix kein Element mit $D^2$ auftreten kann. $\mathbf{G}(D)$ ist zudem eine $2 × 3$–Matrix; eine dritte Zeile gibt es nicht.

(3) Die Aufspaltung von $\mathbf{G}(D)$ ergibt die $2 × 2$–Matrix

$${ \boldsymbol{\rm T}}(D) = \begin{pmatrix} 1+D & 0 \\ D & 1+D \end{pmatrix} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm det}\hspace{0.1cm}{ \boldsymbol{\rm T}}(D) = (1+D) \cdot (1+D) = 1+D^2 $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = \frac{1}{1+D^2} \cdot \begin{pmatrix} 1+D & 0 \\ D & 1+D \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}. $$

Richtig ist der Lösungsvorschlag 3. Zur Kontrolle:

$${ \boldsymbol{\rm T}}(D) \cdot { \boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{1}{1+D^2} \cdot \begin{pmatrix} 1+D & 0 \\ D & 1+D \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1+D & 0 \\ D & 1+D \end{pmatrix} =$$

$$ \ = \ \hspace{-0.15cm} ... \hspace{0.1cm}= \frac{1}{1+D^2} \cdot \begin{pmatrix} 1+D^2 & 0 \\ 0 & 1+D^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$

(4) Entsprechend dem Angabenblatt gilt:

$${ \boldsymbol{\rm P}}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} { \boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot { \boldsymbol{\rm Q}}(D) = \frac{1}{1+D^2} \cdot \begin{pmatrix} 1+D & 0 \\ D & 1+D \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =$$

$$\ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{1}{1+D^2} \cdot \begin{pmatrix} (1+D)\cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ D\cdot 0 + (1+D)\cdot 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{1+D^2} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1+D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1/(1+D) \end{pmatrix} $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1/(1+D) \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$

Richtig ist demnach die Lösungsvorschläge 1 und 3.

(5) Richtig ist JA. Die untere Schaltung auf dem Angabenblatt ist gekennzeichnet durch die Gleichungen $x_i^{(1)} = u_i^{(1)}$ und $x_i^{(2)} = u_i^{(2)}$ sowie

$$x_i^{(3)}= x_{i-1}^{(3)} + u_i^{(2)} \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} X^{(3)}(D)= X^{(3)}(D) \cdot D +U^{(2)}(D)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(D) = \frac {X^{(3)}(D)}{U^{(2)}(D)} = \frac {1}{1+D} \hspace{0.05cm}.$$

Dies entspricht genau dem letzten Element von $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ entsprechend der Teilaufgabe (4).

	Die erste Zeile von $\mathbf{G}(D)$ lautet $(1 + D, \, 0, \, 0)$.
	Die erste Zeile von $\mathbf{G}(D)$ lautet $(1 + D^2, \, 0, \, D^2)$.
	Die zweite Zeile von $\mathbf{G}(D)$ lautet $(D, \, 1 + D, \, 1)$.
	Die dritte Zeile von $\mathbf{G}(D)$ lautet $(D, \, 1 + D, \, 1)$.

	$\det {\mathbf{T}(D)} = 1$,
	$\det {\mathbf{T}(D)} = D$,
	$\det {\mathbf{T}(D)} = 1 + D^2$.

	Die erste Zeile von $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ lautet $(1, \, 0, \, 0)$.
	Die zweite Zeile von $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ lautet $(0, \, 1, \, 1 + D)$.
	Die zweite Zeile von $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ lautet $(0, \, 1, \, 1/(1 + D))$.

	JA.
	NEIN.