Aufgabe 3.7Z: Partialbruchzerlegung

Einige Pol–Nullstellen–Konfigurationen

In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme $H_{\rm L}(p)$ gegeben. Sie alle haben gemein, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen gleich der Anzahl $N$ der Polstellen ist. Der konstante Faktor ist jeweils $K=1$.

Im Sonderfall $Z = N$ kann zur Berechnung der Impulsantwort $h(t)$ der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend

$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) \hspace{0.05cm}$$

vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann

$$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.05cm},$$

wobei $h\hspace{0.03cm}'(t)$ die Laplace–Rücktransformierte von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ angibt, bei der die Bedingung $Z' < N'$ erfüllt ist.

Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte Allpässe.

Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier–Spektralfunktion die Bedingung $|H(f)| = 1$ ⇒ $a(f) = 0$ erfüllt.
In der Aufgabe 3.4Z ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses angeordnet sein müssen.

Weiterhin soll in dieser Aufgabe die $p$–Übertragungsfunktion

$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2} \hspace{0.05cm}$$

⇒ „Konfiguration $(5)$” näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters $A$ durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Laplace–Rücktransformation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Partialbruchzerlegung.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Nach den in der Zusatzaufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$ in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$ in der rechten Halbebene gibt. $K = 1$ ist dann die Dämpfungsfunktion $a(f) = 0 \ \rm Np$ ⇒ $|H(f)| = 1$. Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass die beiden Konfigurationen (1) und (2) genau diese Symmetrieeigenschaften aufweisen.

(2) Die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$ wird ebenso durch die Konfiguration (4) beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt: $$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2} =\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}} = \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2 }= H_{\rm L}^{(4)}(p) \hspace{0.05cm}.$$ Die doppelte Nullstelle liegt bei $p_{\rm o} = 0$, der doppelte Pol bei $p_{\rm x} = -A = -2$.

(3) Für die Konfiguration (1) gilt: $$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0) =2} \hspace{0.05cm}.$$

(4) In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration (2): $$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}= \frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}= \hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p +8 -8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8} $$ $$H_{\rm L}(p) =1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 8 \cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$ Richtig sind die beiden letzten Lösungsvorschläge im Gegensatz zur Aussage 1:

Während $H_{\rm L}(p)$ zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist,
besitzt $H_{\rm L}'(p)$ nur eine einzige Nullstelle bei $p_{\rm o}' = 0$.

(5) Für die Konfiguration (3) gilt: $$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8} = 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$ Die Nullstelle von $H_{\rm L}'(p)$ liegt nun bei $p_{\rm o}' = -2$ . Die Konstante ist $K' = 4$ ⇒ richtig ist hier nur die Aussage 2.

(6) Schließlich gilt für die Konfiguration (4): $$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4} = 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+1}{(p+2)^2} \hspace{0.05cm}.$$ Richtig ist auch hier der Lösungsvorschlag 2. Allgemein lässt sich sagen:

Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.
Die Pole von $H_{\rm L}'(p)$ sind dagegen stets identisch mit denen von $H_{\rm L}(p)$.

	Konfiguration $(1)$,
	Konfiguration $(2)$,
	Konfiguration $(3)$,
	Konfiguration $(4)$.

	Konfiguration $(1)$,
	Konfiguration $(2)$,
	Konfiguration $(3)$,
	Konfiguration $(4)$.

	$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
	$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
	Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ ist $K' = 8$.