Aufgabe 1.4Z: Zum Dopplereffekt

Bewegungsrichtungen (A), ...

Als „Dopplereffekt” bezeichnet man die Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen jeder Art, während sich Quelle (Sender) und Beobachter (Empfänger) relativ zueinander bewegen.

Wir gehen hier stets von einem festen Sender aus, während sich der Empfänger in vier verschiedene Richtungen (A), (B), (C) und (D) bewegen kann (siehe Grafik).

Untersucht werden sollen verschiedene Geschwindigkeiten:

eine unrealistisch große Geschwindigkeit $v_1 = 0.6 \cdot c = 1.8 \cdot 10^8 \ {\rm m/s}$,
die Maximalgeschwindigkeit $v_2 = 3 \ {\rm km/s} \ (10800 \ {\rm km/h})$ bei unbemanntem Testflug,
etwa die Höchstgeschwindigkeit $v_3 = 30 \ {\rm m/s} = 108 \ \rm km/h$ auf Bundesstraßen.

Die im Theorieteil angegebenen Gleichungen für die Empfangsfrequenz lauten

unter Berücksichtigung der Relativitätstheorie (kurz als „relativistisch” bezeichnet):

$${\rm Gleichung \hspace{0.15cm}(1):}\hspace{0.2cm}f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2}}{1 - v/c \cdot \cos(\alpha)} \hspace{0.05cm},$$

ohne Berücksichtigung relativistischer Eigenschaften (kurz: „herkömmlich”):

$${\rm Gleichung \hspace{0.15cm}(2):}\hspace{0.2cm}f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \left [ 1 + {v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh–Prozesses.
$c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$ nennt man Lichtgeschwindigkeit.
Zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse können Sie das Interaktionsmodul Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts benutzen.

Fragebogen

$v_1\text{:} \hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ $

$\cdot \ 10^{\rm –5}$

$v_1\text{:} \hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ $

$\cdot \ 10^{\rm –5}$

${\rm Richtung \ (A)}, v_1\text{:} \hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S}\ = \ $

$\hspace{2.75cm} v_2\text{:} \hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S}\ = \ $

$\cdot \ 10^{\rm –5}$

${\rm Richtung \ (B)}, v_1\text{:} \hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S}\ = \ $

$\hspace{2.75cm} v_2\text{:} \hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S}\ = \ $

$\cdot \ 10^{\rm –5}$

${\rm Richtung \ (C)}, \upsilon_3\text{:} \hspace{0.4cm} f_{\rm D} \ = \ $

$\ \rm Hz$

${\rm Richtung \ (D)}, \upsilon_3\text{:} \hspace{0.4cm} f_{\rm D} \ = \ $

$\ \rm Hz$

Musterlösung

(1) Bei der Fahrtrichtung (A) nähert sich der Empfänger dem Sender unter dem Winkel $\alpha = 0$. Damit ergibt sich nach der relativistischen Gleichung (1):

$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2}}{1 - v/c } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm S} \cdot \left [ \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2}}{1 - v/c } - 1 \right ]\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D}}/{f_{\rm S}} = \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2}}{1 - v/c } - 1 \hspace{0.05cm}.$$

Mit $\upsilon_1/c = 0.6$ erhält man:

$${f_{\rm D}}/{f_{\rm S}} = \frac{\sqrt{1 - 0.6^2}}{1 - 0.6 } - 1 = \frac{0.8}{0.4 } - 1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 1} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E}}/{f_{\rm S}} = 2 \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend gilt mit $\upsilon_2/c = 10^{\rm –5}$:

$${f_{\rm D}}/{f_{\rm S}} = \frac{\sqrt{1 - (10^{-5})^2}}{1 - (10^{-5}) } - 1 \approx 1 + 10^{-5} - 1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 10^{-5}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E}}/{f_{\rm S}} = 1.00001 \hspace{0.05cm}.$$

(2) Nun entfernt sich der Empfänger vom Sender ($\alpha = 180^°$). Die Empfangsfrequenz $f_{\rm E}$ ist kleiner als die Sendefrequenz $f_{\rm S}$ und die Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$ negativ. Mit ${\rm cos}(\alpha) = \ –1$ erhält man nun:

$${f_{\rm D}}/{f_{\rm S}} = \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2}}{1 + v/c } - 1 = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.15cm} \underline{ -0.5} \\ \\ \hspace{0.15cm} \underline{ -10^{-5}} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} \hspace{-0.2cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} v_1/c = 0.6 \\ \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} v_2/c = 10^{-5} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

Umgerechnet auf $f_{\rm E}/f_{\rm S}$ ergibt sich:

$${f_{\rm E}}/{f_{\rm S}} = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.15cm} { 0.5} \\ \\ \hspace{0.15cm} { 0.99999} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} \hspace{-0.2cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} v_1/c = 0.6 \\ \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} v_2/c = 10^{-5} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Hier gelten folgende Gleichungen:

$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \left [ 1 + {v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \right ] \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D}}/{f_{\rm S}} = {v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte:

Richtung (A), $v_1 /c = 1.8 \cdot 10^8 \ {\rm m/s}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ \underline {= \ 0.6} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.6,$
Richtung (A), $v_2 /c = 3.0 \cdot 10^3 \ {\rm m/s}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ \underline {= \ 10^{\rm –5}} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.00001,$
Richtung (B), $v_1 /c = 1.8 \cdot 10^8 \ {\rm m/s}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ \underline {= \ –0.6} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 0.4,$
Richtung (B), $v_2 /c = 3.0 \cdot 10^3 \ {\rm m/s}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ \underline {= \ –10^{\rm –5}} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 0.99999.$

Man erkennt:

Für realistische Geschwindigkeiten – dazu rechnen wir auch $v \ \approx \ 10000 \ {\rm km/h}$ – liefert die herkömmliche Gleichung (2) bis hin zur Genauigkeit eines Taschenrechners das gleiche Ergebnis wie die relativistische Gleichung (1).
Mit der Näherung liefern die Winkel $\alpha = 0^°$ und $\alpha = 180^\circ$ den gleichen Betrag der Dopplerfrequenz.
Die Näherungen unterscheiden sich nur im Vorzeichen.
Bei der relativistischen Gleichung ist diese Symmetrie nicht mehr gegeben. Siehe Teilaufgaben (1) und (2).

(4) Gleichung (2) führt hier zum Ergebnis:

$$f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm S} \cdot {v_3}/{c} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

Die Fahrtrichtung (C) verläuft senkrecht ($\alpha = 90^\circ$) zur Verbindungslinie Sender–Empfänger. In diesem Fall tritt keine Dopplerverschiebung auf: $f_{\rm D} \ \underline {= \ 0}$.
Die Bewegungsrichtung (D) ist durch $\alpha = \ –135^\circ$ charakterisiert. Daraus resultiert:

$$f_{\rm D} = 2 \cdot 10^{9}\,\,{\rm Hz} \cdot \frac{30\,\,{\rm m/s}}{3 \cdot 10^{8}\,\,{\rm m/s}} \cdot \cos(-135^{\circ}) \hspace{0.15cm} \underline{ \approx -141\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.05cm}.$$