Applets:Physical Signal & Analytic Signal

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Programmbeschreibung

Dieses Applet zeigt den Zusammenhang zwischen dem physikalischen Bandpass–Signal $x(t)$ und dem dazugehörigen analytischen Signal $x_+(t)$. Ausgegangen wird stets von einem Bandpass–Signal $x(t)$ mit frequenzdiskretem Spektrum $X(f)$:

$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$

Das physikalische Signal $x(t)$ setzt sich also aus drei harmonischen Schwingungen zusammen, einer Konstellation, die sich zum Beispiel bei der Zweiseitenband-Amplitudenmodulation des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$ ergibt. Die Nomenklatur ist ebenfalls an diesen Fall angepasst:

• $x_{\rm O}(t)$ bezeichnet das „Obere Seitenband” mit der Amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, der Frequenz $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ und der Phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
• Entsprechend gilt für das „Untere Seitenband” $x_{\rm U}(t)$ mit $f_{\rm U} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.

Das dazugehörige analytische Signal lautet:

$$x_+(t) = x_{\rm U+}(t) + x_{\rm T+}(t) + x_{\rm O+}(t) = A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm U})} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm T})} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm O})}. $$

Analytische Signal zur Zeit $t=0$

Im Programm dargestellt wird $x_+(t)$ als vektorielle Summe dreier Drehzeiger (alle mit positiver Drehrichtung) als violetter Punkt (siehe beispielhafte Grafik für den Startzeitpunkt $t=0$):

• Der (rote) Zeiger des Trägers $x_{\rm T+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm T}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm T} = 0$ dreht mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}$ (eine Umdrehung in der Zeit $1/f_{\rm T}$.

• Der (blaue) Zeiger des Oberen Seitenbandes $x_{\rm O+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm O}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm O}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}$, also etwas schneller als $x_{\rm T+}(t)$.

• Der (grüne) Zeiger des Unteren Seitenbandes $x_{\rm U+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm U}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm U}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}$, also etwas langsamer als $x_{\rm T+}(t)$.

Den zeitlichen Verlauf von $x_+(t)$ bezeichnen wir im Folgenden auch als Zeigerdiagramm. Der Zusammenhang zwischen dem physikalischen Bandpass–Signal $x(t)$ und dem dazugehörigen analytischen Signal $x_+(t)$ lautet:

$$x(t) = {\rm Re}\big [x_+(t)\big ].$$

Hinweis:   Die Grafik gilt für $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. Daraus folgt für den Startzeitpunkt $t=0$ der Winkel gegenüber dem Koordinatensystem:   $\phi_{\rm O} = -\varphi_{\rm O} = -30^\circ$. Ebenso folgt aus der Nullphanlage $\varphi_{\rm U} = -30^\circ$ des unteren Seitenbandes für den in der komplexen Ebene zu berücksichtigenden Phasenwinkel:   $\phi_{\rm U} = +30^\circ$.

Englische Beschreibung (muss noch angepasst werden)

Theoretischer Hintergrund

Bandpass–Spektrum $X(f)$

Wir betrachten hier Bandpass-Signale $x(t)$ mit der Eigenschaft, dass deren Spektren $X(f)$ nicht im Bereich um die Frequenz $f = 0$ liegen, sondern um eine Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Meist kann auch davon ausgegangen werden, dass die Bandbreite $B \ll f_{\rm T}$ ist.

Die Grafik zeigt ein solches Bandpass–Spektrum $X(f)$. Unter der Annahme, dass das zugehörige $x(t)$ ein physikalisches Signal und damit reell ist, ergibt sich für die Spektralfunktion $X(f)$ eine Symmetrie bezüglich der Frequenz $f = 0$. Ist $x(t)$ eine gerade Funktion   ⇒   $x(-t)=x(t)$, so ist auch $X(f)$ reell und gerade.

Neben dem physikalischen Signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$ verwendet man zur Beschreibung von Bandpass-Signalen gleichermaßen:

• das analytische Signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, wie im nächsten Unterabschnitt beschrieben,
• das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, siehe Applet Physikalisches Signal & Äquivalentes Tiefpass–Signal.

Analytisches Signal – Spektralfunktion

Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige analytische Signal $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:

Konstruktion der Spektralfunktion $X_+(f)$

$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

Die so genannte Signumfunktion ist dabei für positive Werte von $f$ gleich $+1$ und für negative $f$–Werte gleich $-1$.

• Der (beidseitige) Grenzwert liefert $\sign(0) = 0$.
• Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.

Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$: Das tatsächliche BP–Spektrum $X(f)$ wird

• bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
• bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.

Aufgrund der Unsymmetrie von $X_+(f)$ bezüglich der Frequenz $f = 0$ kann man bereits jetzt schon sagen, dass die Zeitfunktion $x_+(t)$ bis auf einen trivialen Sonderfall $x_+(t)= 0 \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ X_+(f)= 0$ stets komplex ist.

Analytisches Signal – Zeitverlauf

An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen.

$\text{Definition:}$  Für die Hilberttransformierte $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ einer Zeitfunktion $x(t)$ gilt:

$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot \hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t - \tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des Cauchy–Hauptwertsatzes ausgewertet werden.

Entsprechend gilt im Frequenzbereich:

$$Y(f) = {\rm -j \cdot sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$

Das obige Ergebnis lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:

• Man erhält aus dem physikalischen BP–Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_+(t)$, indem man zu $x(t)$ einen Imaginärteil gemäß der Hilberttransformierten hinzufügt:

$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$

• $\text{H}\{x(t)\}$ verschwindet nur für den Fall $x(t) = \rm const.$   ⇒   Gleichsignal. Bei allen anderen Signalformen ist somit das analytische Signal $x_+(t)$ komplex.

• Aus dem analytischen Signal $x_+(t)$ kann das physikalische Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:

$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$

$\text{Beispiel 1:}$  Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die nachfolgende Grafik nochmals verdeutlicht:

• Nach der linken Darstellung $\rm(A)$ kommt man vom physikalischen Signal $x(t)$ zum analytischen Signal $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil ${\rm j} \cdot y(t)$ hinzufügt.
• Hierbei ist $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ eine reelle Zeitfunktion, die sich im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums $X(f)$ mit $\rm {- j} \cdot \sign(f)$ angeben lässt.

Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten

Die rechte Darstellung $\rm(B)$ ist äquivalent zu $\rm(A)$. Nun gilt $x_+(t) = x(t) + z(t)$ mit der rein imaginären Funktion $z(t)$. Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$ ist.

Darstellung der harmonischen Schwingung als analytisches Signal

Die Spektralfunktion $X(f)$ einer harmonischen Schwingung $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_Tt - \varphi)$ besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen

• $+f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
• $-f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.

Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals (also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz $f =-f_{\rm T}$, aber Verdoppelung bei $f =+f_{\rm T}$):

$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm T}) .$$

Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des Verschiebungssatzes:

$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$

Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$ drehenden Zeiger.

$\text{Beispiel 2:}$  Aus Darstellungsgründen wird das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um $90^\circ$ gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).

Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung

Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:

• Zum Startzeitpunkt $t = 0$ liegt der Zeiger der Länge $A$ (Signalamplitude) mit dem Winkel $-\varphi$ in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt $\varphi = 45^\circ$.
• Für Zeiten $t > 0$ dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) $\omega_{\rm T}$ in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
• Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius $A$ und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung $x(t)$.
• Die Projektion des analytischen Signals $x_+(t)$ auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von $x(t)$.

$x_+(t)$–Darstellung einer Summe aus drei harmonischen Schwingungen

In unserem Applet setzen wir stets einen Zeigerverbund aus drei Drehzeigern voraus. Das physikalische Signal lautet:

$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$

• Jede der drei harmonischen Schwingungen harmonischen Schwingungen $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ und $x_{\rm O}(t)$ wird durch eine Amplitude $(A)$, eine Frequenz $(f)$ und einen Phasenwert $(\varphi)$ charakterisiert.
• Die Indizes sind an das Modulationsverfahren Zweiseitenband–Amplitudenmodulation angelehnt. „T” steht für „Träger”, „U” für „Unteres Seitenband” und „O” für „Oberes Seitenband”. Entsprechend gilt stets $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ und $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. Für die Ampltuden und Phasen gibt es keine Einschränkungen.

??? $X_+(f)$

Im Kapitel Aperiodische Signale - Impulse wurden meist stillschweigend tiefpassartige Signale vorausgesetzt, das heißt solche Signale, deren Spektralfunktionen im Bereich um die Frequenz $f = 0$ liegen. Insbesondere bei optischer Übertragung und bei Funkübertragungssystemen – aber nicht nur hier – liegen die Sendesignale jedoch im Bereich um eine Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Solche Signale bezeichnet man als Bandpass-Signale.

Unter Verzerrungen (englisch: Distortions) versteht man allgemein die unerwünschte deterministische Veränderungen eines Nachrichtensignals durch ein Übertragungssystem. Sie sind bei vielen Nachrichtensystemen neben den stochastischen Störungen (Rauschen, Nebensprechen, etc.) eine entscheidende Begrenzung für die Übertragungsqualität und die Übertragungsrate.

Ebenso wie man die „Stärke” von Rauschen durch

• die Rauschleistung (englisch: Noise Power) $P_{\rm N}$ und
• das Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis (englisch: Signal–to–Noise Ratio, SNR) $\rho_{\rm N}$

bewertet, verwendet man zur Quantifizierung der Verzerrungen

• die Verzerrungsleistung (englisch: Distortion Power) $P_{\rm D}$ und
• das Signal–zu–Verzerrungsleistungsverhältnis (englisch: Signal–to–Distortion Ratio, SDR)

$$\rho_{\rm D}=\frac{\rm Signalleistung}{\rm Verzerrungsleistung} = \frac{P_x}{P_{\rm D} }.$$

Lineare und nichtlineare Verzerrungen

Man unterscheidet zwischen linearen und nichtlinearen Verzerrungen:

• Nichtlineare Verzerrungen gibt es, wenn zu allen Zeiten $t$ zwischen dem Signalwert $x = x(t)$ am Eingang und dem Ausgangssignalwert $y = y(t)$ der nichtlineare Zusammenhang $y = g(x) \ne {\rm const.} \cdot x$ besteht, wobei $y = g(x)$ die nichtlineare Kennlinie des Systems bezeichnet. Legt man an den Eingang ein Cosinussignal der Freuenz $f_0$ an, so beinhaltet das Ausgangssignal neben $f_0$ auch Vielfache hiervon   ⇒   so genannte Oberwellen. Durch nichtlineare Verzerrungen entstehen also neue Frequenzen.

Zur Verdeutlichung nichtlinearer Verzerrungen

Beschreibung eines linearen Systems

• Lineare Verzerrungen entstehen dann, wenn der Übertragungskanal durch einen Frequenzgang $H(f) \ne \rm const.$ charakterisiert wird. Dann werden unterschiedliche Frequenzen unterschiedlich gedämpft und unterschiedlich verzögert. Charakteristisch hierfür ist, dass zwar Frequenzen verschwinden können (zum Beispiel durch einen Tiefpass, einen Hochpass oder einen Bandpass), dass aber keine neuen Frequenzen entstehen.

In diesem Applet werden nur lineare Verzerrungen betrachtet.

Beschreibungsformen für den Frequenzgang

Der im Allgemeinen komplexe Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:

$$H(f) = |H(f)| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f)} = {\rm e}^{-a(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f)}.$$

Daraus ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:

• Der Betrag $|H(f)|$ wird als Amplitudengang und in logarithmierter Form als Dämpfungsverlauf bezeichnet:

$$a(f) = - \ln |H(f)|\hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Neper \hspace{0.1cm}(Np) } = - 20 \cdot \lg |H(f)|\hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Dezibel \hspace{0.1cm}(dB) }.$$

• Der Phasengang $b(f)$ gibt den negativen frequenzabhängigen Winkel von $H(f)$ in der komplexen Ebene an, bezogen auf die reelle Achse:

$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) \hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Radian \hspace{0.1cm}(rad)}.$$

Tiefpass N–ter Ordnung

Dämpfungsverlauf und Phasenverlauf eines Tiefpasses N–ter Ordnung

Der Frequenzgang eines realisierbaren Tiefpasses N–Ordnung lautet:

$$H(f) = \left [\frac{1}{1 + {\rm j}\cdot f/f_0 }\right ]^N\hspace{0.05cm}.$$

Ein einfacher RC–Tiefpass hat diesen Verlauf mit $N=1$. Damit erhält man

• den Dämpfungsverlauf:

$$a(f) =N/2 \cdot \ln [1+( f/f_0)^2] \hspace{0.05cm},$$

• den Phasenverlauf:

$$b(f) =N \cdot \arctan( f/f_0) \hspace{0.05cm},$$

• den Dämpfungsfaktor für die Frequenz $f=f_i$:

$$\alpha_i =|H(f = f_i)| = [1+( f/f_0)^2]^{-N/2}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm} y(t)= \alpha_i \cdot A_i\cdot \cos(2\pi f_i t)\hspace{0.05cm},$$

• die Phasenlaufzeit für die Frequenz $f=f_i$:

$$\tau_i =\frac{b(f_i)}{2 \pi f_i} = \frac{N \cdot \arctan( f_i/f_0)}{2 \pi f_i}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm} y(t)=A_i\cdot \cos(2\pi f_i (t- \tau_i))\hspace{0.05cm}.$$

Hochpass N–ter Ordnung

Dämpfungsverlauf und Phasenverlauf eines Hochpasses N–ter Ordnung

Der Frequenzgang eines realisierbaren Hochpasses N–Ordnung lautet:

$$H(f) = \left [\frac{ {\rm j}\cdot f/f_0 }{1 + {\rm j}\cdot f/f_0 }\right ]^N\hspace{0.05cm}.$$

Ein einfacher LC–Tiefpass hat diesen Verlauf mit $N=1$. Damit erhält man

• den Dämpfungsverlauf:

$$a(f) =N/2 \cdot \ln [1+( f_0/f)^2] \hspace{0.05cm},$$

• den Phasenverlauf:

$$b(f) =-N \cdot \arctan( f_0/f) \hspace{0.05cm},$$

• den Dämpfungsfaktor für die Frequenz $f=f_i$:

$$\alpha_i =|H(f = f_i)| = [1+( f_0/f)^2]^{-N/2}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm} y(t)= \alpha_i \cdot A_i\cdot \cos(2\pi f_i t)\hspace{0.05cm},$$

• die Phasenlaufzeit für die Frequenz $f=f_i$:

$$\tau_i =\frac{b(f_i)}{2 \pi f_i} = \frac{-N \cdot \arctan( f_0/f_i)}{2 \pi f_i}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm} y(t)=A_i\cdot \cos(2 \pi f_i (t- \tau_i))\hspace{0.05cm}.$$

Phasenfunktion $b(f)$ von Tiefpass und Hochpass

$\text{Beispiel:}$  Die Grafik zeigt jeweils für die Grenzfrequenz $f_0 = 1\ \rm kHz$ und die Ordnung $N=1$ die Phasenfunktion $b(f)$

• eines Tiefpasses (englisch: low–pass) als grüne Kurve, und
• eines Hochpasses (englisch: high–pass) als violette Kurve.

Das Eingangssignal sei jeweils sinusförmig mit der Frequenz $f_{\rm S} = 1.25\ {\rm kHz}$, wobei dieses Signal erst zum Zeitpunkt $t=0$ eingeschaltet wird:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.75cm}0 \\ \sin(2\pi \cdot f_{\rm S} \cdot t ) \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \\ \end{array}\begin{array} \ t < 0, \\ t>0. \\ \end{array}$$

In der linken (blau umrandeten) Grafik ist dieses Signal $x(t)$ dargestellt. Der Zeitpunkt $t = T_0 = 0.8\ {\rm ms}$ der ersten Nullstelle ist durch eine gestrichelte Linie markiert. Die beiden anderen Grafiken zeigen die Ausgangssignale $y_{\rm TP}(t)$ und $y_{\rm HP}(t)$ von Tiefpass und Hochpass, wobei in beiden Fällen die Amplitudenänderungen ausgeglichen wurden.

Eingangssignal $x(t)$ sowie Ausgangssignale $y_{\rm TP}(t)$ und $y_{\rm HP}(t)$

• Die erste Nullstelle des Signals $y_{\rm TP}(t)$ nach dem Tiefpass kommt um $\tau_{\rm TP} = 0.9/(2\pi) \cdot T_0 \approx 0.115 \ {\rm ms}$ später als die erste Nullstelle von $x(t)$   ⇒   markiert mit grünem Pfeil, wobei $b_{\rm TP}(f/f_{\rm S} )= 0.9 \ {\rm rad}$ berücksichtigt wurde.
• Dagegen ist die Laufzeit des Hochpasses negativ: $\tau_{\rm HP} = -0.67/(2\pi) \cdot T_0 \approx 0.085 \ {\rm ms}$ und die erste Nullstelle von $y_{\rm HP}(t)$ kommt deshalb vor der weißen Markierung.
• Nach diesem Einschwingvorgang kommen in beiden Fällen die Nulldurchgänge wieder im Raster der Periodendauer $T_0 = 0.8 \ {\rm ms}.$

Anmerkung: Die gezeigten Signalverläufe wurden mit dem intereaktiven Applet Kausale Systeme – Laplacetransformation erstellt.

Dämpfungsverzerrungen und Phasenverzerrungen

Voraussetzung für einen nichtverzerrenden Kanal

Die nebenstehende Grafik zeigt

• den geraden Dämpfungsverlauf $a(f)$   ⇒   $a(-f) = a(f)$, und
• den ungeraden Phasenverlauf $b(f)$   ⇒   $b(-f) = -b(- f)$

eines verzerrungsfreien Systems. Man erkennt:

• Bei einem verzerrungsfreien Systems muss in einem Bereich von $f_{\rm U}$ bis $f_{\rm O}$ um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, in dem das Signal $x(t)$ Anteile besitzt, die Dämpfungsfunktion $a(f)$ konstant sein.
• Aus dem angegebenen konstanten Dämpfungswert $6 \ \rm dB$ folgt für den Amplitudengang $|H(f)| = 0.5$   ⇒   die Signalwerte aller Frequenzen werden somit durch das System halbiert   ⇒   keine Dämpfungsverzerrungen.
• Zusätzlich muss bei einem solchen Systems der Phasenverlauf $b(f)$ zwischen $f_{\rm U}$ und $f_{\rm O}$ linear mit der Frequenz ansteigen. Dies hat zur Folge, dass alle Frequenzanteile um die gleiche Phasenlaufzeit $τ$ verzögert werden   ⇒   keine Phasenverzerrungen.
• Die Verzögerung $τ$ liegt durch die Steigung von $b(f)$ fest. Mit $b(f) = 0$ würde sich ein laufzeitfreies System ergeben   ⇒   $τ = 0$.

Die folgende Zusammenfassung berücksichtigt, dass in diesem Applet das Einganssignal stets die Summe zweier harmonischer Schwingungen ist:

$$x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$

Damit wird der Kanaleinfluss durch die Dämpfungsfaktoren $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sowie die Phasenlaufzeiten $\tau_1$ und $\tau_2$ vollständig beschrieben:

$$y(t) = \alpha_1 \cdot x_1(t-\tau_1) + \alpha_2 \cdot x_2(t-\tau_2).$$

$\text{Fazit:}$ 

• Ein Signal $y(t)$ ist gegenüber dem Eingang $x(t)$ nur dann unverzerrt, wenn $\alpha_1 = \alpha_2= \alpha$   und   $\tau_1 = \tau_2= \tau$ gilt   ⇒   $y(t) = \alpha \cdot x(t-\tau)$.
• Dämpfungsverzerrungen ergeben sich, falls $\alpha_1 \ne \alpha_2$ ist . Ist $\alpha_1 \ne \alpha_2$ und $\tau_1 = \tau_2$, so liegen ausschließlich Dämpfungsverzerrungen vor.
• Phasenverzerrungen gibt es für $\tau_1 \ne \tau_2$. Ist $\tau_1 \ne \tau_2$ und $\alpha_1 = \alpha_2$, so liegen ausschließlich Phasenverzerrungen vor.

Versuchsdurchführung

• Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
• Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Hide solition”.

Mit der Nummer „0” wird auf die gleichen Einstellung wie beim Programmstart zurückgesetzt und es wird ein Text mit weiteren Erläuterungen zum Applet ausgegeben.

Im Folgenden bezeichnet $\rm Grün$ das Untere Seitenband   ⇒   $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$,   $\rm Rot$ den Träger   ⇒   $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ und $\rm Blau$ das Obere Seitenband   ⇒   $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.

(1)   Betrachten und interpretieren Sie das analytische Signal $x_+(t)$ für $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1.5\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$. Außerdem gelte $A_{\rm U} = A_{\rm O} = 0$.

Welche Signalwerte $x_+(t)$ ergeben sich für $t = 0$, $t = 5 \ \rm µ s$ und $t = 20 \ \rm µ s$? Wie groß sind die entsprechenden Signalwerte von $x(t)$?

  Für ein Cosinussignal gilt $x_+(t= 0) = A_{\rm T} = 1.5\ \text{V}$. Danach dreht $x_+(t)$ in mathematisch positiver Richtung (eine Umdrehung pro Periodendauer $T_0 = 1/f_{\rm T}$):

  $x_+(t= 20 \ {\rm µ s}) = x_+(t= 0) = 1.5\ \text{V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}x(t= 20 \ {\rm µ s}) = 1.5\ \text{V,}\hspace{0.5cm} x_+(t= 5 \ {\rm µ s}) = {\rm j} \cdot 1.5\ \text{V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}x(t= 5 \ {\rm µ s}) = {\rm Re}[x_+(t= 5 \ {\rm µ s})] = 0$.

(2)   Wie ändern sich die Verhältnisse für $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1.0\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 90^\circ$?

Das Signal $x(t)$ ist nun ein Sinussignal mit kleinerer Amplitude. Das analytische Signal startet nun wegen $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$   ⇒   $\phi_{\rm T} = -90^\circ$ bei $x_+(t= 0) = -{\rm j} \cdot A_{\rm T}$. Danach dreht $x_+(t)$ wieder in mathematisch positiver Richtung, aber wegen $T_0 = 10 \ \rm µ s$ doppelt so schnell als bei $\rm (1)$.

(3)   Nun gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.

Betrachten und interpretieren Sie das physikalische Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_+(t)$.

Das Signal $x(t)$ ergibt sich bei der Zweiseitenband–Amplitudenmodulation (ZSB–AM) des Nachrichtensignals $A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t\right)$ mit $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$, $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$. Der Träger $x_{\rm T}(t)$ mit $f_{\rm T} = 100\ \text{kHz}$ ist ebenfalls cosinusförmig. Der Modulationsgrad ist $m = A_{\rm N}/A_{\rm T} = 0.8$ und die Periodendauer $T_{\rm 0} = 50\ \text{µs}$.

Im Zeigerdiagramm dreht sich der (rote) Träger schneller als das (grüne) Untere Seitenband und langsamer als das (blaue) Obere Seitenband. Das analytische Signal $x_+(t)$ ergibt sich als die geometrische Summe der drei rotierenden Zeiger. Es scheint so, als würde der blaue Zeiger dem Träger vorauseilen und der grüne Zeiger dem Träger nachlaufen.

(4)   Es gelten weiter die Einstellungen der Aufgabe (3). Welche Signalwerte ergeben sich bei $t=0$, $t=2.5 \ \rm µ s$, $t= 5 \ \rm µ s$ und $t=10 \ \rm µ s$?

Zur Zeit $t=0$ liegen alle Zeiger in Richtung der reellen Achse, so dass $x(t=0) = {\rm Re}\big [x+(t= 0)\big] = A_{\rm U} + A_{\rm T} + A_{\rm O} = 1.8\ \text{V}$ gilt.

Bis zur Zeit $t=2.5 \ \rm µ s$ hat sich der rote Träger um $90^\circ$ gedreht, der blaue Zeiger um $108^\circ$ und der grüne um $72^\circ$. Es gilt $x(t=2.5 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 2.5 \ \rm µ s)\big] = 0$, da nun der Zeigerverbund in Richtung der imaginären Achse zeigt. Die weiteren gesuchten Signalwerte sind $x(t=5 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 5 \ \rm µ s)\big] = -1.647\ \text{V}$ und $x(t=10 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 10 \ \rm µ s)\big] = 1.247\ \text{V}$.

Für $x_+(t)$ ergibt sich ein spiralförmiger Verlauf, abwechselnd mit kleiner werdenem Radius und anschließend mit größerem Radius.

(5)   Wie müssen die Phasenparameter $\varphi_{\rm T}$, $\varphi_{\rm U}$ und $\varphi_{\rm O}$ eingestellt werden, wenn sowohl der Träger $x_{\rm T}(t)$ als auch das Nachrichtensignal $x_{\rm N}(t)$ sinusförmig verlaufen?

Die Parameterwahl $\varphi_{\rm T} = \varphi_{\rm U} = \varphi_{\rm O}=90^\circ$ beschreibt die Signale $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \sin\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t\right)$ und $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t\right)$. Soll zusätzlich die Nachricht $x_{\rm N}(t)$ sinusförmig verlaufen, so muss $\varphi_{\rm O}=\varphi_{\rm T} - 90^\circ = 0$ und $\varphi_{\rm U}=\varphi_{\rm T} + 90^\circ = 180^\circ$ eingestellt werden.

(6)   Es gelten die Einstellungen der Aufgabe (3) mit Ausnahme von $A_{\rm T} = 0.6\ \text{V}$. Welches Modulationsverfahren wird hiermit beschrieben?

Welche Konsequenzen ergeben sich hieraus? Was ändert sich mit $A_{\rm T} = 0$?

Es handelt sich um eine ZSB–AM mit Träger mit dem Modulationsgrad $m=0.8/0.6 = 1.333$. Für $m > 1$ ist allerdings eine Synchrondemodulation erforderlich. Hüllkurvendemodulation funktioniert nicht mehr.

Mit $A_{\rm T} = 0$   ⇒   $m \to \infty$ ergibt sich eine ZSB–AM ohne Träger. Auch hierfür benötigt man unbedingt die Synchrondemodulation.

(7)     Nun gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

Welches Konstellation wird hiermit beschrieben? Was ändert sich mit $A_{\rm U} = 0.8\ \text{V}$ und $A_{\rm O} = 0$?

In beiden Fällen handelt es sich um eine Einseitenbandmodulation (ESB–AM) mit dem Modulationsgrad $\mu = 0.8$ (bei ESB bezeichnen wir den Modulationsgrad mit $\mu$ anstelle von $m$). Das Trägersignal ist cosinusförmig und das Nachrichtensignal sinusförmig.

Mit $A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}$, $A_{\rm U} = 0$ handelt es sich um eine OSB–Modulation. Der grüne Zeiger fehlt und der blaue Zeiger dreht im Vergleich zum roten Träger schneller.

Mit $A_{\rm U} = 0.8\ \text{V}$, $A_{\rm O} = 0$ handelt es sich um eine USB–Modulation. Der blaue Zeiger fehlt und der grüne Zeiger dreht im Vergleich zum roten Träger langsamer.

(8)   Es gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.05cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.05cm} A_{\rm U} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.05cm} A_{\rm O} = 0.2\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = +90^\circ$.

Welches Konstellation könnte hiermit beschrieben werden? Welche Figur ergibt sich für das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)$?   ⇒   „Ortskurve”?

Es könnte eine ZSB–AM eines Sinussignals mit cosinusförmigem Träger und Modulationsgrad $m=0.8$ vorliegen, bei dem das Obere Seitenband um den Faktor $2$ gedämpft ist. Das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)$ hat in der komplexen Ebene einen elliptischen Verlauf.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Parametereingabe für das Eingangssignal $x(t)$ per Slider: Amplituden, Frequenzen, Phasenwerte

    (B)     Vorauswahl für die Kanalparameter: per Slider, Tiefpass oder Hochpass

    (C)     Eingabe der Kanalparameter per Slider: Dämpfungsfaktoren und Phasenlaufzeiten

    (D)     Eingabe der Kanalparameter für Hoch– und Tiefpass: Ordnung $n$, Grenzfrequenz $f_0$

    (E)     Eingabe der Matching–Parameter $k_{\rm M}$ und $\varphi_{\rm M}$

    (F)     Auswahl der darzustellenden Signale: $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$, $\varepsilon(t)$, $\varepsilon^2(t)$

    (G)     Graphische Darstellung der Signale

    (H)     Eingabe der Zeit $t_*$ für die Numerikausgabe

    ( I )     Numerikausgabe der Signalwerte $x(t_*)$, $y(t_*)$, $z(t_*)$ und $\varepsilon(t_*)$

    (J)     Numerikausgabe des Hauptergebnisses $P_\varepsilon$

    (K)     Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen

    (L)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl, Aufgabenstellung und Musterlösung

    (M)     Variationsmöglichkeiten für die grafische Darstellung

$\hspace{1.5cm}$Zoom–Funktionen „$+$” (Vergrößern), „$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$Verschieben mit „$\leftarrow$” (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), „$\uparrow$” „$\downarrow$” und „$\rightarrow$”

$\hspace{1.5cm}$Andere Möglichkeiten:

$\hspace{1.5cm}$Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,

$\hspace{1.5cm}$Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2005 von Bettina Hirner im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2018 wurde dieses Programm von Jimmy He im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: Tasnád Kernetzky) neu gestaltet und erweitert.

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