Aufgabe 1.2: Schaltlogik (D/B-Wandler)
A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)
Ein Zahlengenerator $Z$ liefert Dezimalwerte im Bereich von $1$ bis $15$.
- Diese werden in Binärzahlen umgewandelt (rot umrandeter Block).
- Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten $A$, $B$, $C$ und $D$ mit abnehmender Wertigkeit.
- Beispielsweise liefert $Z = 11$ die Binärwerte
- $$ A = 1, \ B = 0, \ C = 1, \ D = 1. $$
Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen:
- $$ Z = 11\qquad\widehat{=}\qquad A \cap\overline{ B} \cap C \cap D$$
Aus den binären Größen $A$, $B$, $C$ und $D$ werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit $X$ bezeichnet wird:
- \[ U = A \cap \overline{D} \]
- \[ V = \overline{A} \cap B \cap \overline{D} \]
- $$W,\; {\rm wobei} \; \, \overline{W} = \overline{A} \cup \overline{D} \cup (\overline{B} \cap C) \cup (B \cap \overline{C}). $$
Für die folgenden Fragen ist zu berücksichtigen, dass $Z = 0 \ ⇒ \ A = B = C = D = 0$ bereits durch den Zahlengenerator ausgeschlossen ist. Beachten Sie ferner, dass nicht alle Eingangsgrößen $A$, $B$, $C$ und $D$ zur Berechnung aller Zwischengrößen $U$, $V$ und $W$ herangezogen werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mengentheoretische Grundlagen.
- Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten.
Fragebogen zu "A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)"
Musterlösung
(2) Das Ereignis $V$ besteht aus den beiden Zahlen $4$ (binär 0100) und $6$ (binär 0110) ⇒ Richtig sind hier die Lösungsvorschläge 1 und 3.
(3) Für das Ereignis $W$ gilt mit dem Theorem von de Morgan:
- $$\overline W = \overline A \cup \overline D \cup (\overline B \cap C) \cup (B \cap \overline C) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W = \overline{\overline W} = A \cap D \cap (\overline{\overline B \cap C}) \cap (\overline{B \cap \overline C}).$$
Mit den Sätzen von de Morgan folgt daraus weiter:
- $$ W = A \cap D \cap (B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C).$$
Mit der Boolschen Beziehung $(B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C) = (B \cap C) \cup (\overline B \cap \overline C)$ erhält man schließlich (siehe Skizze):
- $$W = (A \cap B \cap C \cap D) \cup (A \cap \overline B \cap \overline C \cap D).$$
Somit beinhaltet W die Zahlen $15$ und $9$ ⇒ nur der Lösungsvorschlag 1 ist richtig.
(4) Die Vereinigungsmenge von $U$, $V$ und $W$ beinhaltet folgende Zahlen: $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15$.
- Dementsprechend gilt für die Menge $P$ als das Komplement dieser Vereinigungsmenge: $P \in {\{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13\}}$.
- Dies sind genau die mit vier Bit darstellbaren Primzahlen ⇒ Lösungsvorschlag 2.