Aufgabe 2.2: Mehrstufensignale

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Zwei ähnliche Mehrstufensignale

Das Rechtecksignal $x(t)$ sei dimensionslos und kann nur die Momentanwerte $0, 1, 2, \ \text{...} \ , M-2, M-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Die obere Grafik zeigt dieses Signal für den Sonderfall $M = 5$.

Auch das Rechtecksignal $y(t)$ ist $M$–stufig, aber mittelwertfrei und auf den Bereich von $y > -y_0$ bis $y < +y_0$ beschränkt.

In der unteren Grafik sehen Sie das Signal $y(t)$, wiederum für die Stufenzahl $M = 5$. Setzen Sie für numerische Berechnungen $y_0 = 2\hspace{0.05cm}V$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Momente einer diskreten Zufallsgröße.

• Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das Lernvideo Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen.

Fragebogen

1

Wie groß ist der lineare Mittelwert der Zufallsgröße $x$ für $M= 5$?

$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}m_x \ = \ $

2

Wie groß ist die Varianz der Zufallsgröße $x$ allgemein und für $M= 5$?

$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}\sigma_x^2\ = \ $

3

Berechnen Sie den Mittelwert $m_y$ der Zufallsgröße $y$ für $M= 5$.

$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}m_y \ = \ $ $\ \rm V$

4

Wie groß ist die Varianz der Zufallsgröße $y$? Berücksichtigen Sie dabei das Ergebnis aus (2). Welcher Wert ergibt sich wiederum für $M= 5$?

$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}\sigma_y^2\ = \ $ $\ \rm V^2$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Man erhält durch Mittelung über alle möglichen Signalwerte für den linearen Mittelwert: $$m_{\it x}=\rm \sum_{\mu=0}^{\it M-{\rm 1}} \it p_\mu\cdot x_{\mu}=\frac{\rm 1}{\it M} \cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\it M-\rm 1}\mu=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M}{\rm 2}=\frac{\it M-\rm 1}{\rm 2}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der lineare Mittelwert zu $m_x \;\underline{= 2}$.

(2)  Analog gilt für den quadratischen Mittelwert: $$m_{\rm 2\it x}= \rm \sum_{\mu=0}^{\it M -\rm 1}\it p_\mu\cdot x_{\mu}^{\rm 2}=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\rm M-1}\mu^{\rm 2} = \frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6} = \frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der quadratische Mittelwert zu $m_{2x} {=6}$. Daraus kann die Varianz mit dem Satz von Steiner berechnet werden: $$\sigma_x^{\rm 2}=m_{\rm 2\it x}-m_x^{\rm 2}=\frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}-\frac{(\it M-\rm 1)^{\rm 2}}{\rm 4}=\frac{\it M^{\rm 2}-\rm 1}{\rm 12}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich für die Varianz $\sigma_x^2 \;\underline{= 2}$.

(3)  Aufgrund der Symmetrie von $y$ gilt unabhängig von $M$:   $m_x \;\underline{= 2}$.

(4)  Zwischen $x(t)$ und $y(t)$ gilt folgender Zusammenhang: $$y(t)=\frac{2\cdot y_{\rm 0}}{M-\rm 1}\cdot [x(t)-m_x].$$

Daraus folgt für die Varianzen: $$\sigma_y^{\rm 2}=\frac{4\cdot y_{\rm 0}^{\rm 2}}{( M - 1)^{\rm 2}}\cdot \sigma_x^{\rm 2}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (M^{\rm 2}-1)}{3\cdot (M- 1)^{\rm 2}}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot ( M+ 1)}{ 3\cdot ( M- 1)}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich hierfür: $$\it \sigma_y^{\rm 2}= \frac {\it y_{\rm 0}^{\rm 2} \cdot {\rm 6}}{\rm 3 \cdot 4}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm2\,V^{2}}.$$