Aufgabe 3.1: cos² - und Dirac-WDF

Cosinus-Quadrat- und Dirac-WDF

Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgrößen $x$ und $y$.

Die WDF der Zufallsgröße $x$ lautet in analytischer Form:

$$f_x(x)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}A \cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x) &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm} -2\le \it x\le \rm +2, \\0 & \rm sonst. \\\end{array}\right.$$

Dagegen besteht die WDF der Zufallsgröße $y$ aus insgesamt fünf Diracfunktionen mit den in der unteren Grafik angegebenen Gewichten.

Betrachtet man diese Zufallsgrößen als Momentanwerte zweier Zufallssignale $x(t)$ und $y(t)$, so ist offensichtlich, dass beide Signale auf den Bereich $\pm 2$ „amplitudenbegrenzt“ sind. Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße.

Es gilt folgende Gleichung:

$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4 a}\cdot \sin(2 ax).$$

Fragebogen

	Die Zufallsgröße $x$ ist wertkontinuierlich.
	Die Zufallsgröße $y$ ist wertdiskret.
	Die Zufallsgröße $y$ ist gleichzeitig zeitdiskret.
	Die WDF sagt nichts aus bzgl. „zeitdiskret/zeitkontinuierlich”.

$A \ = \ $

${\rm Pr}(x = 0)\ = \ $

${\rm Pr}(x > 0)\ = \ $

${\rm Pr}(y > 0)\ = \ $

${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}| <1)\ = \ $

${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| <1)\ = \ $

Musterlösung

Zur Berechnung der WDF-Fläche

(1) Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:

$x$ ist wertkontinuierlich.
$y$ ist wertdiskret ($M = 5$).
Die WDF liefert keine Aussagen darüber, ob eine Zufallsgröße zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.

(2) Die Fläche unter der WDF muss $1$ ergeben. Durch einfache geometrische Überlegungen kommt man zum Ergebnis $\underline{A=0.5}$.

(3) Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße $x$ einen festen Wert $x_0$ annimmt, ist stets vernachlässigbar klein ⇒ $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$. Für die wertdiskrete Zufallsgröße $y$ gilt dagegen gemäß der Angabe: ${\rm Pr}(y = 0) = 0.4$ (Gewicht der Diracfunktion bei $y = 0$).

(4) Wegen ${{\rm Pr}(x = 0) = 0}$ und der WDF-Symmetrie ergibt sich $\underline{{\rm Pr}(x > 0) = 0.5}$.

(5) Da $y$ eine diskrete Zufallsgröße ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für $y = 1$ und $y = 2$:

$${\rm Pr}(y >0) = {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$

(6) Das Ereignis „$|\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} | < 1$” ist hier identisch mit „$y = 0$”. Damit erhält man:

$${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}| < 1) = {\rm Pr}( y = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.4}.$$

(7) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von $-1$ bis $+1$ über die WDF der kontinuierlichen Zufallsgröße $x$. Unter Berücksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erhält man:

$${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm} x\hspace{0.05cm}|<1)=2 \cdot \int_{0}^{1}{1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x={x}/{2}+{1}/{\pi}\cdot \sin({\pi}/{2}\cdot x)\Big |_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm{1}/{2} + {1}/{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.818}.$$