Aufgabe 3.7: Bitfehlerquote (BER)
Wir betrachten ein binäres Übertragungssystem mit
- der Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle $ und
- der Sinkensymbolfolge $\langle v_\nu \rangle $.
Stimmen Sinkensymbol $v_\nu$ und Quellensymbol $q_\nu$ nicht überein, so liegt ein Bitfehler vor ⇒ $e_\nu = 1$. Ansonsten gilt $e_\nu = 0$.
Wichtigstes Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist die
Bitfehlerwahrscheinlichkeit (englisch: Bit Error Probability).
- Mit dem Erwartungswert ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$ ist diese ist wie folgt definiert:
- $$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$
- Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung und muss zum Beispiel bei zeitvarianten Kanälen stets angewandt werden.
- Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit für alle Symbole gleich (was hier vorausgesetzt wird), so kann man die obige Gleichung vereinfachen:
- $$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\rm E\big[\it e_{\nu} \rm \big].$$
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine A-priori-Kenngröße, erlaubt also eine Vorhersage für das zu erwartende Resultat. Dagegen muss zur messtechnischen Ermittlung der Übertragungsqualität oder bei der Systemsimulation auf die vergleichbare A-posteriori-Kenngröße Bitfehlerquote (englisch: Bit Error Rate) übergegangen werden:
- $$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$
Diese ist eine relative Häufigkeit, wobei $n_{\rm B}$ die Anzahl der aufgetretenen Bitfehler angibt, wenn insgesamt $N$ Symbole (Bit) übertragen wurden.
- Im Grenzfall $N \to \infty$ stimmt die relative Häufigkeit $h_{\rm B}$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ überein.
- Hier soll nun die Frage geklärt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem N gerechnet werden muss.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gaußverteilte Zufallsgrößen.
- Lösen Sie die Aufgaben so weit wie möglich allgemein. Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$.
- Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:
- $$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$
Fragebogen
Musterlösung
- Bezüglich der Zufallsgröße $n_{\rm B}$ liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor.
- Es wird die Summe über $N$ binäre Zufallsgrößen gebildet.
- Die möglichen Werte von $n_{\rm B}$ liegen somit zwischen $0$ und $N$.
- Der lineare Mittelwert ergibt $m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$
(2) Für die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung:
$$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}
\hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$
(3) Mögliche Werte von $h_{\rm B}$ sind alle ganzzahligen Vielfachen von $1/N$. Diese liegen zwischen $0$ und $1$ liegen. Für den Mittelwert erhält man: $$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$
Die Streuung ergibt sich zu $$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 10^{-4}}.$$
(4) Richtig ist der erste Vorschlag. Es gilt: $${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),\hspace{0.5cm}\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\rm Pr(\it |h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon \rm )=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q({\it \varepsilon}/{\it \sigma_{h{\rm B}}}).$$
(5) Man erhält mit den Zahlenwerten$\varepsilon = \sigma_{h{\rm B}} = 10^{-4}$: $$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$
Das heißt: Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation über $10^5$ Symbole, so erhält man mit einem Konfidenzniveau von 68.4% einen Wert zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$, wenn $p_{\rm B} = 10^{-3}$ ist.
(6) Aus der Beziehung $p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot {\rm Q}(\alpha) = 0.95$ folgt direkt: $$\alpha_{\rm min}=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$
(7) Es muss $\alpha = \varepsilon/\sigma_{h{\rm B}}$ gelten. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) folgt dann: $$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge {\rm 2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400000}.$$
