Aufgabe 4.9: Höherstufige Modulation

Einige Kanalkapazitätskurven

Die Grafik zeigt AWGN–Kanalkapazitätskurven über der Abszisse $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$:

$C_\text{Gauß}$: Shannonsche Grenzkurve,
$C_\text{BPSK}$: gültig für Binary Phase Shift Keying.

Die beiden weiteren Kurvenverläufe $C_\text{Rot}$ und $C_\text{Braun}$ sollen in den Teilaufgaben (3) und (4) analysiert und möglichen Modulationsverfahren zugeordnet werden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel
AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite
Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$.
Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log” ⇒ „log₂” verwendet.
Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben:

Vorgeschlagene Signalraumkonstellationen

Anmerkungen zur Nomenklatur:

In der Literatur wird manchmal die BPSK auch mit 2–ASK bezeichnet

$$x ∈ X = \{+1, -1\}.$$

Dagegen verstehen wir in unserem Lerntutorial $\rm LNTwww$ als ASK den unipolaren Fall

$$x ∈ X = \{0, 1 \}.$$

Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb:

$$C_\text{AK} < C_\text{BPSK}$$

Dieser Sachverhalt hat aber keinen Einfluss auf die Lösung der vorliegenden Aufgabe.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Richtig ist der Vorschlag 2, wie die Rechnung für 10 · lg (E_S/N₀) = 15 dB ⇒ E_S/N₀ = 31.62 zeigt:

$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$

Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:

$$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$

$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$

Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall Zweier unabhängiger Gaußkanäle mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

Würde man E_S durch E_B ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig.
Für E_B/N₀ < ln 2 gilt nämlich C_Gauß ≡ 0 und damit auch C_BPSK ≡ 0.

(3) Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 5:

Der rote Kurvenzug (C_rot) liegt stets oberhalb von C_BPSK, aber unterhalb von C_braun und der Shannon–Grenzkurve C_Gauß.
Diese Aussagen gelten auch, wenn für gewisse E_S/N₀–Werte Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.
Aus dem Grenzwert C_rot = 2 bit/Kanalzugriff für E_S/N₀ → ∞ kann auf den Symbolumfang M_X = 4 geschlossen werden.
Die rote Kurve beschreibt also die 4–ASK. M_X = 2 würde für die BPSK gelten.
Die 4–QAM führt genau zum gleichen Endwert „2 bit/Kanalzugriff”. Für kleine E_S/N₀–Werte liegt aber die Kanalkapazität C_4–QAM oberhalb der roten Kurve, da C_rot von der Gauß–Grenzkurve C₂ begrenzt wird, C_4–QAM aber von C₃.

Die Bezeichnungen C₂ und C₃ beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe (1).

Kanalkapazitätsgrenzen für
BPSK, 4–ASK und 8–ASK

(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 5:

Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.
Die 8–PSK mit I– und Q–Komponente – also mit K = 2 Dimensionen – wird für kleine E_S/N₀–Werte etwas oberhalb der braunen Kurve liegen die Antwort 3 ist falsch.

In der Grafik sind auch die beiden 8–ASK–Systeme gemäß den Vorschlägen 4 und 5 als Punkte eingezeichnet.

Der violette Punkt liegt über der Kurve C_8–ASK. Das heißt: 10 · lg (E_S/N₀) = 10 dB und R = 2.5 reichen nicht aus, um die 8–ASK fehlerfrei decodieren zu können ⇒ R > C ⇒ das Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt ⇒ die Antwort 4 ist falsch.
Reduziert man aber die Coderate gemäß dem gelben Punkt bei gleichem 10 · lg (E_S/N₀) = 10 dB auf R = 2 < C_8–ASK, so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt ⇒ Antwort 5 ist richtig.

	$C_{\rm BPSK}$ kann nicht in geschlossener Form angegeben werden.
	$C_{\rm BPSK}$ ist größer als Null, wenn $E_{\rm S}/{N_0} > 0$ vorausgesetzt wird.
	Für $E_{\rm S}/{N_0} < \ln (2)$ ist $C_{\rm BPSK} ≡ 0$.
	Im gesamten Bereich gilt $C_{\rm BPSK} < C_{\rm Gauß} $.

	Für die zugehörige Zufallsgröße $X$ gilt $M_X = \|X\| = 2$.
	Für die zugehörige Zufallsgröße $X$ gilt $M_X = \|X\| = 4$.
	$C_{\rm Rot}$ ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4–ASK.
	$C_{\rm Rot}$ ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4–QAM.
	Für alle $E_{\rm S}/{N_0} > 0$ liegt $C_{\rm Rot}$ zwischen „grün” und „braun”.

	Für die zugehörige Zufallsgröße $X$ gilt $M_X = \|X\| = 8$.
	$C_{\rm Braun}$ ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–ASK.
	$C_{\rm Braun}$ ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–PSK.
	$p_{\rm B} ≡ 0$ ist mit 8–ASK, $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ möglich.
	$p_{\rm B} ≡ 0$ ist mit 8–ASK, $R = 2$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ möglich.

	Es gilt $C_{\rm Gauß} = C_1= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$ ,
	Es gilt $C_{\rm Gauß} = C_2= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot E_{\rm S}/{N_0})$ ,
	Es gilt $C_{\rm Gauß} = C_3= {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$ .