Aufgabe 5.2: Bandspreizung und Schmalbandstörer

Betrachtetes Modell
der Bandspreizung

Betrachtet wird ein Spread Spectrum System gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:

Das Digitalsignal $q(t)$ besitze das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_q(f)$, das als rechteckförmig mit der Bandbreite $B = 1/T = 100\ \rm kHz$ angenähert werden soll:

$${\it \Phi}_{q}(f) = \left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{q0} \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} |f| <B/2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ \end{array}$$

Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite (nur die Anteile bei positiven Frequenzen) gleich $B/2$ und die Bandbreite im Bandpassbereich ist $B$.
Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz $c(t)$ der Chipdauer $T_c = T/100$
(„PN” steht dabei für „Pseudo Noise”).
Für die Autokorrelationsfunktion gelte vereinfachend:

$$ {\it \varphi}_{c}(\tau) = \left\{ \begin{array}{c}1 - |\tau|/T_c \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -T_c \le \tau \le T_c \hspace{0.05cm}, \\ \\ \end{array}$$

Beim Empfänger wird wieder die gleiche Spreizfolge $c(t)$ phasensynchron zugesetzt.
Das Interferenzsignal $i(t)$ soll zunächst vernachlässigt werden.
In der Teilaufgabe (4) bezeichnet $i(t)$ einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz = f_{\rm I}$ mit der Leistung $P_{\rm I}$.
Der Einfluss des (stets vorhandenen) AWGN–Rauschens $n(t)$ wird in dieser Aufgabe nicht betrachtet.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel PN–Modulation.

Fragebogen

${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$

$B_c \ = \ $

$\ \rm MHz$

	$B_s$ ist exakt gleich $B_c$.
	$B_s$ ist näherungsweise gleich $B_c + B$.
	$B_b$ ist exakt gleich $B_s$.
	$B_b$ ist gleich $B_s + B_c = 2B_c + B$.
	$B_b$ ist exakt gleich $B$.

	Der störende Einfluss wird durch Bandspreizung abgeschwächt.
	Die Störleistung ist nur mehr halb so groß.
	Die Störleistung wird durch die Bandspreizung nicht verändert.

Musterlösung

(1) Das Leistungsdichtesprektrum ${\it \Phi}_c(f)$ ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF, die mit Rechtecken der Breite $T_c$ wie folgt dargestellt werden kann:

$${\it \varphi}_{c}(\tau) = \frac{1}{T_c} \cdot {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \star {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \hspace{0.05cm}.$$

Daraus folgt ${\it \Phi}_{c}(f) = {1}/{T_c} \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$ mit dem Maximalwert

$${\it \Phi}_{c}(f = 0) = T_c = \frac{T}{100}= \frac{1}{100 \cdot B} = \frac{1}{100 \cdot 10^5\,{\rm 1/s}} = 10^{-7}\,{\rm 1/Hz} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1 \cdot 10^{-6}\,{\rm 1/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Gemäß der vorgegebenen Definition gilt mit $T_c = T/100 = 0.1\ \rm µ s$:

$$B_c= \frac{1}{T_c} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\it \Phi}_{c}(f)\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right )\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{1}{T_c}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$

Die Grafik verdeutlicht, dass $B_c$ durch die erste Nullstelle der $\rm si^2$–Funktion im äquivalenten Tiefpassbereich vorgegeben wird, aber auch gleichzeitig die äquivalente (flächengleiche) Bandbreite im Bandpassbereich angibt.

Leistungsdichtespektrum des PN–Spreizsignals

(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 5:

Das LDS ${\it \Phi}_s(f)$ ergibt sich aus der Faltung von ${\it \Phi}_q(f)$ und ${\it \Phi}_c(f)$. Damit erhält man für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich $B_s = B_c + B$.
Da das Spreizsignal $c(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit sich selbst multipliziert immer den Wert $1$ ergibt, ist natürlich $b(t) ≡ q(t)$ und demzufolge $B_b = B$.
Offensichtlich ist, dass die Bandbreite $B_b$ des bandgestauchten Signals ungleich $2B_c + B$ ist, obwohl die Faltung ${\it \Phi}_s(f) ∗ {\it \Phi}_c(f)$ dies suggeriert.
Dies hängt damit zusammen, dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen, sondern von den Spektralfunktionen (Amplitudenspektren) $S(f)$ und $C(f)$ unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist.
Erst danach kann aus $B(f)$ das LDS ${\it \Phi}_b(f)$ bestimmt werden. Es gilt offensichtlich auch: $C(f) ∗ C(f) = δ(f)$.

(4) Richtig ist nur der erste Lösungsvorschlag. Die Lösung soll anhand einer Skizze verdeutlicht werden:

Leistungsdichtespektren vor und nach der Bandspreizung

Im oberen Diagramm ist das LDS ${\it \Phi}_i(f)$ des Schmalbandstörers durch zwei Diracfunktionen bei $±f_{\rm T}$ mit Gewichten $P_{\rm I}/2$ angenähert. Eingezeichnet ist auch die Bandbreite $B = 0.1 \ \rm MHz$ (nicht ganz maßstäblich).

Die empfängerseitige Multiplikation mit $c(t)$ – eigentlich mit der Funktion der Bandstauchung, zumindest bezüglich des Nutzanteils von $r(t)$ – bewirkt hinsichtlich des Störsignals $i(t)$ eine Bandspreizung. Ohne Berücksichtigung des Nutzsignals ist $b(t) = n(t) = i(t) · c(t)$. Daraus folgt:

$${\it \Phi}_{n}(f) = {\it \Phi}_{i}(f) \star {\it \Phi}_{c}(f) = \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f - f_{\rm T}) \cdot T_c \right )+ \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f + f_{\rm T}) \cdot T_c \right ) \hspace{0.05cm}.$$

Anzumerken ist, dass $n(t)$ hier nur als Abkürzung verwendet wird und nicht AWGN–Rauschen bezeichnet. In einem engen Bereich um die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz$ ist das LDS ${\it \Phi}_n(f)$ nahezu konstant. Damit gilt für die Störleistung nach der Bandspreizung:

$$ P_{n} = P_{\rm I} \cdot T_c \cdot B = P_{\rm I}\cdot \frac{B}{B_c} = \frac{P_{\rm I}}{J}\hspace{0.05cm}. $$

Das bedeutet: Die Störleistung wird durch Bandspreizung um den Faktor $J = T/T_c$ herabgesetzt, weshalb $J$ häufig auch als Spreizgewinn bezeichnet wird.
Ein solcher Spreizgewinn ist allerdings nur bei einem Schmalbandstörer gegeben.