Aufgabe 3.5: Augenöffnung bei Pseudoternärcodierung
Betrachtet werden drei Nachrichtenübertragungssysteme, jeweils mit folgenden übereinstimmenden Eigenschaften:
- NRZ–Rechteckimpulse mit der Amplitude $s_0 = 2 \, {\rm V}$,
- Koaxialkabel mit charakteristischer Kabeldämpfung $a_* = 40 \, {\rm dB}$,
- AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$,
- Empfangsfilter $H_{\rm E}(f) = 1/H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm G}(f) $, bestehend aus einem idealen Kanalentzerrer $H_{\rm K}(f)^{-1}$ und einem Gaußtiefpass $H_{\rm G}(f)$ mit der normierten Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T \approx 0.5$.
- Schwellenwertentscheider mit optimalen Entscheiderschwellen und optimalem Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$.
Die in der Aufgabe zu untersuchenden Systemvarianten unterscheiden sich ausschließlich hinsichtlich des Übertragungscodes:
Das $\text{System A}$ verwendet ein binäres bipolares redundanzfreies Sendesignal. Bekannt sind folgende Beschreibungsgrößen:
- Grundimpulswerte $g_0 = 1.56 \, {\rm V}$, $g_1 = g_{\rm –1} = 0.22 \, {\rm V}$, $g_2 = g_{\rm –2} = \, \text{ ...} \, \approx 0$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = g_{0} -g_{1}-g_{-1} = 1.12\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
- Rauscheffektivwert $\sigma_d \approx 0.2 \, {\rm V}$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2\big]^2}{ \sigma_d^2}\approx 31.36\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \approx 15\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
Das $\text{System B}$ verwendet AMI–Codierung:
- Hier treten die äußeren Symbole $„+1”$ bzw. $„–1”$ nur isoliert auf.
- Bei drei aufeinanderfolgenden Symbolen sind unter anderem die Folgen „$\hspace{-0.1cm}\text{ ...} \, , \, +1, \, +1, \, +1, \,\text{ ...}$” und „$\hspace{-0.1cm}\text{ ...} \, , \, +1, \, 0, \, +1, \, \text{ ...} $” nicht möglich,
- im Gegensatz zur Folge „$\hspace{-0.1cm}\text{ ...} \, , \, +1, \, –1, \, +1, \, \text{ ...} $”.
Das $\text{System C}$ verwendet den Duobinärcode:
- Hier wird die alternierende Folge „$\hspace{-0.1cm} \text{ ...} \, , \, –1, \, +1, \, –1, \, \text{ ...} $” durch den Code ausgeschlossen, was sich günstig auf die Augenöffnung auswirkt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung.
- Nicht alle der hier angegebenen Zahlenwerte sind zur Lösung dieser Aufgabe erforderlich.
Fragebogen
Musterlösung
Bei Pseudoternärcodierung gibt es stets zwei Augenöffnungen:
- Die obere Begrenzungslinie des oberen Auges ergibt sich beim AMI–Code wie beim redundanzfreien Binärsystem:
- $$d_{\rm oben}= g_0 - 2 \cdot g_1 \hspace{0.2cm}{\rm (zugeh\ddot{o}rige} \hspace{0.1cm}{\rm Folge:}-1, +1, -1{\rm )} \hspace{0.05cm}.$$
- Dagegen gilt für die untere Begrenzungslinie des oberen Auges:
- $$d_{\rm unten}= g_1 \hspace{0.2cm}{\rm (zugeh\ddot{o}rige} \hspace{0.1cm}{\rm Folge:}\hspace{0.2cm}0, \hspace{0.05cm}0, +1\hspace{0.2cm}{\rm bzw.}\hspace{0.2cm}+1, \hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}0{\rm )}\hspace{0.05cm}.$$
Für die halbe Augenöffnung gilt somit:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2}= {1}/{2} \cdot (d_{\rm oben} - d_{\rm unten}) = {1}/{2} \cdot g_0 - {3}/{2} \cdot g_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.45\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
Die entsprechende Gleichung für das redundanzfreie Binärsystem lautet: ${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2}= g_0 - 2 \cdot g_1 \hspace{0.05cm}.$
(2) Bezüglich des Rauschens gibt es keinen Unterschied zwischen den drei Systemen, da stets die gleiche Symbolrate vorliegt. Daraus folgt für den AMI–Code:
- $$\rho_{\rm U} = \frac{(0.45\,{\rm V})^2}{(0.2\,{\rm V})^2} = 5.06 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
Die Einbuße gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem beträgt somit fast $8 \, {\rm dB}$. Der Grund für diesen gravierenden Störabstandverlust ist, dass beim AMI–Code trotz $37\%$ Redundanz die bezüglich der Impulsinterferenzen besonders ungünstige Symbolfolge „$\text{ ...} , \, –1, \, +1, \, –1, \text{ ...} $” nicht ausgeschlossen wird.
(3) Die Schwelle $E_2$ muss in der Mitte zwischen $d_{\rm oben}$ und $d_{\rm unten}$ liegen:
- $$E_2= {1}/{2} \cdot (d_{\rm oben} + d_{\rm unten}) = {1}/{2} \cdot (g_0 - g_1 ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.67\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
Der Schwellenwert $E_1$ liegt symmetrisch dazu: $E_1 \, \underline {= \, –0.67 {\rm V}}$.
(4) Wir gehen wieder von den gleichen Grundimpulswerten aus. Die ungünstigste Folge bezüglich der oberen Begrenzungslinie des oberen Auges ist „$\text{ ...} , 0, \, +1, \, 0, \text{ ...} $”, während die untere Begrenzungslinie durch „$\text{ ...} , 0, \, 0, \, +1, \text{ ...} $” bzw. „$\text{ ...} , +1, \, 0, \, 0, \text{ ...} $” bestimmt wird. Daraus folgt:
- $$d_{\rm oben}= g_0, \hspace{0.2cm} d_{\rm unten} = g_1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2} = {g_0}/{2} - {g_1}/{2}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.667\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Mit dem Ergebnis aus 4) erhält man analog zur Teilaufgabe (2)
- $$\rho_{\rm U} = \frac{(0.67\,{\rm V})^2}{(0.2\,{\rm V})^2} = 11.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 10.5\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
Voraussetzung für dieses Ergebnis sind Schwellenwerte bei
- $$E_2= {1}/{2} \cdot (g_0 + g_1 ) = 0.89\,{\rm V}, \hspace{0.2cm}E_1 = - 0.89\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
Anzumerken ist, dass hier stets von der gleichen Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.5$ ausgegangen wurde. Bei Optimierung der Grenzfrequenz kann es durchaus sein, dass der Duobinärcode bei hinreichend großer charakteristischer Kabeldämpfung dem redundanzfreien Binärcode überlegen ist.
