Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit

Inhaltsverzeichnis

1 Programmbeschreibung
2 Theoretischer Hintergrund
3 Versuchsdurchführung
4 Zur Handhabung des Applets
5 Über die Autoren
6 Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Programmbeschreibung

Das Applet verdeutlicht

Das Applet verwendet das Framework Plot.ly Stimmt das?

Theoretischer Hintergrund

Blockschaltbild und Voraussetzungen

Für diese Applet gilt das unten skizzierte Modell der binären Basisbandübertragung. Zunächst gelten folgende Voraussetzungen:

Die Übertragung erfolgt binär, bipolar und redundanzfrei mit der Bitrate $R_{\rm B} = 1/T$, wobei $T$ die Symboldauer angibt.
Das Sendesignal $s(t)$ ist zu allen Zeiten $t$ gleich $ \pm s_0$ ⇒ Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist NRZ–rechteckförmig mit Amplitude $s_0$ und Impulsdauer $T$.

Das Empfangssignal sei $r(t) = s(t) + n(t)$. Der AWGN–Term $n(t)$ ist durch die (einseitige) Rauschleistungsdichte $N_0$ gekennzeichnet.
Der Kanalfrequenzgang sei bestmöglich (ideal) und muss nicht weiter berücksichtigt werden: $H_{\rm K}(f) =1$.
Das Empfangsfilter mit der Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ formt aus $r(t)$ das Detektionssignal $d(t) = d_{\rm S}(t)+ d_{\rm N}(t)$.
Dieses wird vom Entscheider mit Entscheiderschwelle $E = 0$ zu den äquidistanten Zeiten $\nu \cdot T$ ausgewertet.
Es wird zwischen dem Signalanteil $d_{\rm S}(t)$ – herrührend vom Sendesignal $s(t)$ – und dem Rauschanteil $d_{\rm N}(t)$ unterschieden werden, dessen Ursache das AWGN–Rauschen $n(t)$ ist. Der Nutzanteil $d_{\rm S}(t)$ kann als gewichtete Summe von gewichteten und jeweils um $T$ verschobenen Detektionsgrundimpulsen $g_d(t) = g_d(t) \star h_{\rm E}(t)$ dargestellt werden mit der Impulsantwort $h_{\rm E}(t) = {\rm F}^{-1}\big[H_{\rm E}(f)\big])$.
Zur Berechnung der (mittleren) Fehlerwahrscheinlichkeit benötigt man ferner die Varianz $\sigma_d^2 = {\rm E}\big[d_{\rm N}(t)^2\big]$ des Detektionsrauschanteils (bei AWGN–Rauschen):

$$\sigma_d^2 = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 {\rm d}f = N_0 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |h_{\rm E}(t)|^2 {\rm d}t.$$

Binäres Basisbandübertragungssystem (die Skizze für $h_{\rm E}(t)$ gilt nur für den Matched-Filter-Empfänger)

Binäres Basisbandübertragungssystem

Optimales impulsinterferenzfreies System – Matched-Filter-Empfänger

Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für den hier betrachteten Fall $H_{\rm K}(f) =1$ mit dem Matched-Filter-Empfänger, also dann, wenn $h_{\rm E}(t)$ formgleich mit NRZ–Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist. Die Rechteck–Impulsantwort hat dann die Dauer $T_{\rm E} = T$ und dier Höhe $1/T$.

Der Detektionsgrundimpuls $g_d(t)$ ist dann dreieckförmig mit dem Maximum $s_0$ bei $t=0$ und es gilt $g_d(t)=0$ für $|t| \ge T$. Aufgrund dieser engen zeitlichen Begrenzung kommt es nicht zu Impulsinterferenzen ⇒ $d_{\rm S}(t = \nu \cdot T) = \pm s_0$ ⇒ der Abstand aller Nutzabtastwerte ist stets $s_0$.
Der Detektionsrauschleistung ist $\sigma_d^2 = N_0/(2T)$ und für die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit der Komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$ :

$$p_{\rm M} = {\rm Q}\left[\sqrt{\frac{s_0^2}{\sigma_d^2}}\right ] = {\rm Q}\left[\sqrt{\frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{N_0}}\right ] = {\rm Q}\left[\sqrt{2 \cdot E_{\rm B}/ N_0}\right ].$$

Das Applet berücksichtigt diesen Fall mit den Einstellungen „nach Rechteck–Impulsantwort” sowie $T_{\rm E}/T = 1$. Die ausgegebenen Werte sind im Hinblick auf spätere Konstellationen die normierte Augenöffnung $ö_{\rm norm} =1$, der normierte Detektionsrauscheffektivwert $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2 \cdot E_{\rm B}/ N_0)}$ sowie die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$. Bei impulsinterferenzfreien Systemen stimmen $p_{\rm M}$ und $p_{\rm U}$ überein.

Weiter

Die Spektralfunktion $G_s(f)$ lautet unter Verwendung des „normierten Sendespektrum” $H_{\rm S}(f)$, das wir später verwenden:

$$G_s(f)= s_0 \cdot T \cdot H_{\rm S}(f)\hspace{0.2cm} {\rm mit}\hspace{0.2cm}H_{\rm S}(f)={\rm si}(\pi f \hspace{0.05cm}T)\hspace{0.2cm} {\rm und}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x) = \sin(x)/x \hspace{0.05cm}.$$

Das Empfangsfilter mit Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$ formt aus $r(t)$ das Detektionssignal $d(t) = d_{\rm S}(t)+ d_{\rm N}(t)$, das vom Entscheider mit Entscheiderschwelle $E = 0$ zu den Zeiten $\nu \cdot T$ ausgewertet wird.

Mit der Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ als die Fourierrücktransformierte des Frequenzgangs $H_{\rm E}(f)$ gilt:

$$d_{\rm S}(t) = s(t) \star h_{\rm E} (t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}d_{\rm N}(t) = n(t) \star h_{\rm E} (t)\hspace{0.05cm}.$$

Das weiße Rauschen $n(t)$ am Empfängereingang besitzt theoretisch eine unendliche große Leistung (praktisch: eine unnötig große Leistung). Durch den Tiefpass mit dem Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$ wird diese auf den quadratischen Erwartungswert des Detektionsstörsignals („Varianz”) begrenzt:

\[\sigma_d^2 = {\rm E}\big[d_{\rm N}(t)^2\big] \hspace{0.05cm}.\]

Allerdings ist zu beachten, dass der Tiefpass $H_{\rm E}(f)$ nicht nur das Störsignal $n(t)$, sondern auch das Nutzsignal $s(t)$ verändert. Dadurch werden die einzelnen Sendeimpulse verbreitert und in ihrer Amplitude vermindert. Nach den Voraussetzungen für dieses Kapitel muss sichergestellt werden, dass es nicht zu Impulsinterferenzen kommt.
Aufgabe des Entscheiders ist es, aus dem wert– und zeitkontinuierlichen Detektionssignal $d(t)$ das wert– und zeitdiskrete Sinkensignal $v(t)$ zu erzeugen, das die Nachricht des Sendesignals $s(t)$ „möglichst gut” wiedergeben sollte.

wird $($Entscheiderschwelle $E = 0)$.

ist optimal an den Sendegrundimpuls $g_s(t)$ angepasst, so dass Impulsinterferenzen keine Rolle spielen. Impulsinterferenzbehaftete Systeme und die Entzerrungsverfahren werden im dritten Hauptkapitel dieses Buches behandelt.

Die Parameter des (binären) Schwellenwertentscheiders sind optimal gewählt. Aufgrund der bipolaren Signalisierung ist die optimale Entscheiderschwelle $E = 0$ und wegen der symmetrischen Impulsform liegen die optimalen Detektionszeitpunkte bei $\nu \cdot T$.

Das Empfangsfilter mit dem Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$, Impulsantwort $h_{\rm E}(t) = {\rm F}^{-1}\big[H_{\rm E}(f)\big])$ ist optimal an den Sendegrundimpuls $g_s(t)$ angepasst, so dass Impulsinterferenzen keine Rolle spielen.

Versuchsdurchführung

Noch überarbeiten

Wählen Sie zunächst die Nummer (1, ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
$M=2$ steht für „Binärcode” und $M=4$ für „Quaternärärcode”.
„Gauß” steht für bdquo;nach Gauß&dash;Empfangsfilter”.
„Rechteck” steht für „Empfangsfilter mit rechteckförmiger Impulsantwort”.

Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:

Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

Bis hierher

(1) Verdeutlichen Sie sich die Entstehung des Augendiagramms für $M=2 \text{, nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.4$. Wählen Sie hierfür „Einzelschritt”.

Dieses Augendiagramm ergibt sich, wenn man das Detektionsnutzsignal $d(t)$ in Stücke der Dauer $2T$ unterteilt und diese Teile übereinander zeichnet.
In $d(t)$ müssen alle „Fünf–Bit–Kombinationen” enthalten sein ⇒ mindestens $2^5 = 32$ Teilstücke ⇒ maximal $32$ unterscheidbare Linien.
Das Diagramm bewertet das Einschwingverhalten des Nutzsignals. Je größer die (normierte) Augenöffnung ist, desto weniger Impulsinterferenzen gibt es.

(2) Gleiche Einstellung wie in (1). Zusätzlich gilt $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$. Bewerten Sie die ausgegebenen Größen $ö_{\rm norm}$, $\sigma_{\rm norm}$ und $p_{\rm U}$.

$ö_{\rm norm}= 0.368$ zeigt an, dass die Symboldetektion durch benachbarte Impulse beeinträchtigt wird. Für impulsinterferenzfreie Binärsysteme gilt $ö_{\rm norm}= 1$.
Die Augenöffnung kennzeichnet nur das Nutzsignal. Der Rauscheinfluss wird durch $\sigma_{\rm norm}= 0.168$ erfasst. Dieser Wert sollte möglichst klein sein.
Die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = {\rm Q}(ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm}\approx 1.4\%)$ bezieht sich allein auf die „ungünstigsten Folgen”, bei „Gauß” z. B. $-1, -1, +1, -1, -1$.
Andere Folgen werden weniger verfälscht ⇒ die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ ist (meist) deutlich kleiner als $p_{\rm U}$ (beschreibt den „Worst Case”).

(3) Die letzten Einstellungen bleiben. Mit welchem $f_{\rm G}/R_{\rm B}$–Wert wird die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ minimal? Auch das Augendiagramm betrachten.

Der minimale Wert $p_{\rm U, \ min} \approx 0.65 \cdot 10^{-4}$ ergibt sich für $f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.8$, und zwar nahezu unabhängig vom eingestellten $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$.
Der normierte Rauscheffektivwert steigt zwar gegenüber dem Versuch (2) von $\sigma_{\rm norm}= 0.168$ auf $\sigma_{\rm norm}= 0.238$ an.
Dies wird aber durch die größere Augenöffnung $ö_{\rm norm}= 0.91$ gegenüber $ö_{\rm norm}= 0.368$ mehr als ausgeglichen $($Vergrößerungsfaktor $\approx 2.5)$.

(4) Für welche Grenzfrequenzen $(f_{\rm G}/R_{\rm B})$ ergibt sich eine völlig unzureichende Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} \approx 50\%$ ? Auch das Augendiagramm betrachten.

Für $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.28$ ergibt sich ein geschlossenes Auge $(ö_{\rm norm}= 0)$ und damit eine worst–case Fehlerwahrscheinlichkeit in der Größenordnung von $50\%$.
Die Entscheidung über ungünstig eingerahmte Bit muss mehr oder weniger zufällig erfolgen, auch bei guten Rauschverhältnissen $(10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 16 \ {\rm dB})$.

(5) Wählen Sie nun die Einstellungen $M=2 \text{, nach Spalt–TP, }T_{\rm E}/T = 1$, $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$ sowie „Auge – Gesamt”. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

Der Detektionsgrundimpuls ist dreieckförmig und das Auge vollständig geöffnet. Die normierte Augenöffnung ist demzufolge $ö_{\rm norm}= 1.$
Aus $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$ folgt $E_{\rm B}/N_0 = 10$ ⇒ $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2\cdot E_{\rm B}/ N_0)} = \sqrt{0.05} \approx 0.224 $ ⇒ $p_{\rm U} = {\rm Q}(4.47) \approx 3.9 \cdot 10^{-6}.$
Dieser Wert ist um den Faktor $15$ besser als in (3). Aber: Bei $H_{\rm K}(f) \ne 1$ ist der Matched-Filter-Empfänger so nicht anwendbar.

(6) Gleiche Einstellung wie in (5). Variieren Sie nun $T_{\rm E}/T$ im Bereich zwischen $0.5$ und $1.5$. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

Für $T_{\rm E}/T < 1$ gilt weiterhin $ö_{\rm norm}= 1$. Aber $\sigma_{\rm norm}$ wird größer, zum Beispiel $\sigma_{\rm norm} = 0.316$ für $T_{\rm E}/T =0.5$ ⇒ das Filter ist zu breitbandig!
Für $T_{\rm E}/T > 1$ ergibt sich im Vergleich zu (5) ein kleineres $\sigma_{\rm norm}$. Aber Das Auge ist nicht mehr geöffnet. $T_{\rm E}/T =1.25$: $ö_{\rm norm}= g_0 - 2 \cdot g_1 = 0.???$.

(7) Wählen Sie nun die Einstellungen $M=2 \text{, CRO–Nyquist, }r_f = 0.2$ sowie „Auge – Gesamt”. Interpretieren Sie das Augendiagramm, auch für andere $r_f$–Werte.

Im Gegensatz zu (6) ist hier der Grundimpuls für $|t|>T$ nicht Null, aber $g_d(t)$ hat äquidistane Nulldurchgänge: $g_0 = 1, \ g_1 = g_2 = 0$ ⇒ Nyquistsystem.
Alle $32$ Augenlinien gehen bei $t=0$ durch nur zwei Punkte. Die vertikale Augenöffnung ist für alle maximal ⇒ $ö_{\rm norm}= 1$.
Dagegen nimmt die horizontale Augenöffnung mit $r_f$ zu und ist $r_f = 1$ maximal gleich $T$ ⇒ Phasenjitter hat in diesem Fall nur geringen Einfluss.

(8) Gleiche Einstellung wie in (7). Variieren Sie nun $r_f$ im Hinblick auf minimale Fehlerwahrscheinlichkeit. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

$ö_{\rm norm}= 1$ gilt stets. Dagegen zeigt $\sigma_{\rm norm}$ eine leichte Abhängigkeit von $r_f$. DasMinimum $\sigma_{\rm norm}=0.236$ ergibt sich für $r_f = 0.9$ ⇒ $p_{\rm U} \approx 1.1 \cdot 10^{-5}.$
Gegenüber dem bestmöglichen Fall gemäß (7) „Matched–Filter–Empfänger” ist $p_{\rm U}$ dreimal so groß, obwohl $\sigma_{\rm norm}$ nur um ca. $5\%$ größer ist.
Dieser größere $\sigma_{\rm norm}$–Wert ist auf die Überhöhung des Rausch–LDS zurückzuführen, um den Abfall durch den Sender–Frequenzgang $H_{\rm S}$ auszugleichen.

Zur Handhabung des Applets

(A) Zeitbereich (Eingabe- und Ergebnisfeld)

(B) (A)–Darstellung numerisch, grafisch, Betrag

(C) Frequenzbereich (Eingabe- und Ergebnisfeld)

(D) (C)–Darstellung numerisch, grafisch, Betrag

(E) Auswahl: DFT $(t \to f)$ oder IDFT $(f \to t)$

(F) Vorgegebene $d(\nu)$–Belegungen (falls DFT), oder

Vorgegebene $D(\mu)$–Belegungen (falls IDFT)

(G) Eingabefeld auf Null setzen

(H) Eingabefeld zyklisch nach unten (bzw. oben) verschieben

( I ) Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauwahl

(J) Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung

(K) Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden

Vorgegebene $d(\nu)$–Belegungen (für DFT):

(a) entsprechend Zahlenfeld, (b) Gleichsignal, (c) Komplexe Exponentialfunktion der Zeit, (d) Harmonische Schwingung $($Phase $\varphi = 45^\circ)$,

(e) Cosinussignal (eine Periode), (f) Sinussignal (eine Periode), (g) Cosinussignal (zwei Perioden), (h) Alternierende Zeitkoeffizienten,

(i) Diracimpuls, (j) Rechteckimpuls, (k) Dreieckimpuls, (l) Gaußimpuls.

Vorgegebene $D(\mu)$–Belegungen (für IDFT):

(A) entsprechend Zahlenfeld, (B) Konstantes Spektrum, (C) Komplexe Exponentialfunktion der Frequenz, (D) äquivalent zur Einstellung (d) im Zeitbereich ,

(E) Cosinussignal (eine Frequenzperiode), (F) Sinussignal (eine Frequenzperiode), (G) Cosinussignal (zwei Frequenzperioden), (H) Alternierende Spektralkoeffizienten,

(I) Diracspektrum, (J) Rechteckspektrum, (K) Dreieckspektrum, (L) Gaußspektrum.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

Die erste Version wurde 2003 von Thomas Großer im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
2019 wurde das Programm von Carolin Mirschina im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: Tasnád Kernetzky).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch Studienzuschüsse der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Applet in neuem Tab öffnen