Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit
Inhaltsverzeichnis
Programmbeschreibung
Das Applet verdeutlicht
Das Applet verwendet das Framework Plot.ly Stimmt das?
Theoretischer Hintergrund
Systembeschreibung und Voraussetzungen
Für diese Applet gilt das unten skizzierte Modell der binären Basisbandübertragung. Zunächst gelten folgende Voraussetzungen:
- Die Übertragung erfolgt binär, bipolar und redundanzfrei mit der Bitrate $R_{\rm B} = 1/T$, wobei $T$ die Symboldauer angibt.
- Das Sendesignal $s(t)$ ist zu allen Zeiten $t$ gleich $ \pm s_0$ ⇒ Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist NRZ–rechteckförmig mit Amplitude $s_0$ und Impulsdauer $T$.
- Das Empfangssignal sei $r(t) = s(t) + n(t)$. Der AWGN–Term $n(t)$ ist durch die (einseitige) Rauschleistungsdichte $N_0$ gekennzeichnet.
- Der Kanalfrequenzgang sei bestmöglich (ideal) und muss nicht weiter berücksichtigt werden: $H_{\rm K}(f) =1$.
- Das Empfangsfilter mit der Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ formt aus $r(t)$ das Detektionssignal $d(t) = d_{\rm S}(t)+ d_{\rm N}(t)$.
- Dieses wird vom Entscheider mit der Entscheiderschwelle $E = 0$ zu den äquidistanten Zeiten $\nu \cdot T$ ausgewertet.
- Es wird zwischen dem Signalanteil $d_{\rm S}(t)$ – herrührend von $s(t)$ – und dem Rauschanteil $d_{\rm N}(t)$ unterschieden, dessen Ursache das AWGN–Rauschen $n(t)$ ist.
- $d_{\rm S}(t)$ kann als gewichtete Summe von gewichteten und jeweils um $T$ verschobenen Detektionsgrundimpulsen $g_d(t) = g_d(t) \star h_{\rm E}(t)$ dargestellt werden
- Zur Berechnung der (mittleren) Fehlerwahrscheinlichkeit benötigt man ferner die Varianz $\sigma_d^2 = {\rm E}\big[d_{\rm N}(t)^2\big]$ des Detektionsrauschanteils (bei AWGN–Rauschen).
Optimales impulsinterferenzfreies System – Matched-Filter-Empfänger
Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für den hier betrachteten Fall $H_{\rm K}(f) =1$ mit dem Matched-Filter-Empfänger, also dann, wenn $h_{\rm E}(t)$ formgleich mit NRZ–Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist. Die rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ hat dann die Dauer $T_{\rm E} = T$ und die Höhe $1/T$.
- Der Detektionsgrundimpuls $g_d(t)$ ist dann dreieckförmig mit dem Maximum $s_0$ bei $t=0$ und es gilt $g_d(t)=0$ für $|t| \ge T$. Aufgrund dieser engen zeitlichen Begrenzung kommt es nicht zu Impulsinterferenzen ⇒ $d_{\rm S}(t = \nu \cdot T) = \pm s_0$ ⇒ der Abstand aller Nutzabtastwerte ist stets $s_0$.
- Die Detektionsrauschleistung ist bei dieser Konstellation:
- $$\sigma_d^2 = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |h_{\rm E}(t)|^2 {\rm d}t = N_0/(2T)=\sigma_{\rm MF}^2.$$
- Für die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit der Komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$ :
- $$p_{\rm M} = {\rm Q}\left[\sqrt{{s_0^2}/{\sigma_d^2}}\right ] = {\rm Q}\left[\sqrt{{2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0}}\right ] = {\rm Q}\left[\sqrt{2 \cdot E_{\rm B}/ N_0}\right ].$$
Das Applet berücksichtigt diesen Fall mit den Einstellungen „nach Spalt–Tiefpass” sowie $T_{\rm E}/T = 1$. Die ausgegebenen Werte sind im Hinblick auf spätere Konstellationen
- die normierte Augenöffnung $ö_{\rm norm} =1$ ⇒ diese ist der maximal mögliche Wert,
- der normierte Detektionsrauscheffektivwert $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2 \cdot E_{\rm B}/ N_0)}$ sowie
- die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$ ⇒ bei impulsinterferenzfreien Systemen stimmen $p_{\rm M}$ und $p_{\rm U}$ überein.
Nyquist–System mit Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang
Wir setzen voraus, dass der Gesamtfrequenzgang den Verlauf eines Cosinus-Rolloff-Tiefpasses hat:
- Der Flankenabfall von $H_{\rm CRO}(f)$ ist punktsymmetrisch um die um die Nyquistfrequenz $1/(2T)$. Je größer der Rolloff-Faktor $r_f$ ist, um so flacher verläuft ist die Nyquistflanke.
- Der Detektionsgrundimpuls $g_d(t) = s_0 \cdot T \cdot {\rm F}\big[H_{\rm CRO}(f)\big]$ hat unabhängig von $r_f$ zu den Zeiten $\nu \cdot T$ Nullstellen. Weitere Nulldurchgänge gibt es abhängig von $r_f$. Für den Impuls gilt:
- $$g_d(t) = s_0 \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} {\rm si}(\pi \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} t/T )\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\frac {\cos(\pi \cdot r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot t/T )}{1 - (2 \cdot r_f \cdot t/T)^2}.$$
- Daraus folgt: Wie beim Matched-Filter-Empfänger ist das Auge maximal geöffnet ⇒ $ö_{\rm norm} =1$.
Betrachten wir nun die Rauschleistung vor dem Entscheider. Für diese gilt:
- $$\sigma_d^2 = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 {\rm d}f = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} {\rm d}f.$$
Die Grafik zeigt die Leistungsübertragungsfunktion $|H_{\rm E}(f)|^2$ für drei verschiedene Rolloff–Faktoren
- $r_f=0$ ⇒ grüne Kurve,
- $r_f=1$ ⇒ rote Kurve,
- $r_f=0.8$ ⇒ blaue Kurve.
Die Flächen unter diesen Kurven sind jeweils ein Maß für die Rauschleistung $\sigma_d^2$ vor dem Entscheider. Das grau hinterlegte Rechteck markiert den kleinsten Wert $\sigma_d^2 =\sigma_{\rm MF}^2$, der sich mit dem Matched-Filter-Empfänger ergibt.
Man erkennt aus dieser Darstellung:
- Der Rolloff–Faktor $r_f = 0$ (Rechteck–Frequenzgang) führt trotz des schmalen Empfangsfilters zu $\sigma_d^2 =K \cdot \sigma_{\rm MF}^2$ mit $K \approx 1.5$, da $|H_{\rm E}(f)|^2$ mit wachsendem $f$ steil ansteigt. Der Grund für diese Rauschleistungsanhebung ist die Funktion $\rm si^2(\pi f T)$ im Nenner, die zur Kompensation des $|H_{\rm S}(f)|^2$–Abfalls erforderlich ist.
- Da die Fläche unter der roten Kurve kleiner ist als die unter der grünen, führt $r_f = 1$ trotz dopplelt doppelt so breitem Spektrum zu einer niedrigeren Rauschleistung: $K \approx 1.23$. Für $r_f \approx 0.8$ ergibt sich noch ein geringfügig besserer Wert. Hierfür erreicht man den bestmöglichen Kompromiss zwischen Bandbreite und Überhöhung.
- Der normierte Detektionsrauscheffektivwert lautet somit für den Rolloff–Faktor $r_f$: $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{K(r_f)/(2 \cdot E_{\rm B}/ N_0)}$.
Mit der Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ als die Fourierrücktransformierte des Frequenzgangs $H_{\rm E}(f)$ gilt:
- $$d_{\rm S}(t) = s(t) \star h_{\rm E} (t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}d_{\rm N}(t) = n(t) \star h_{\rm E} (t)\hspace{0.05cm}.$$
- Das weiße Rauschen $n(t)$ am Empfängereingang besitzt theoretisch eine unendliche große Leistung (praktisch: eine unnötig große Leistung). Durch den Tiefpass mit dem Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$ wird diese auf den quadratischen Erwartungswert des Detektionsstörsignals („Varianz”) begrenzt:
- \[\sigma_d^2 = {\rm E}\big[d_{\rm N}(t)^2\big] \hspace{0.05cm}.\]
- Allerdings ist zu beachten, dass der Tiefpass $H_{\rm E}(f)$ nicht nur das Störsignal $n(t)$, sondern auch das Nutzsignal $s(t)$ verändert. Dadurch werden die einzelnen Sendeimpulse verbreitert und in ihrer Amplitude vermindert. Nach den Voraussetzungen für dieses Kapitel muss sichergestellt werden, dass es nicht zu Impulsinterferenzen kommt.
- Aufgabe des Entscheiders ist es, aus dem wert– und zeitkontinuierlichen Detektionssignal $d(t)$ das wert– und zeitdiskrete Sinkensignal $v(t)$ zu erzeugen, das die Nachricht des Sendesignals $s(t)$ „möglichst gut” wiedergeben sollte.
wird $($Entscheiderschwelle $E = 0)$.
ist optimal an den Sendegrundimpuls $g_s(t)$ angepasst, so dass Impulsinterferenzen keine Rolle spielen. Impulsinterferenzbehaftete Systeme und die Entzerrungsverfahren werden im dritten Hauptkapitel dieses Buches behandelt.
- Die Parameter des (binären) Schwellenwertentscheiders sind optimal gewählt. Aufgrund der bipolaren Signalisierung ist die optimale Entscheiderschwelle $E = 0$ und wegen der symmetrischen Impulsform liegen die optimalen Detektionszeitpunkte bei $\nu \cdot T$.
- Das Empfangsfilter mit dem Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$, Impulsantwort $h_{\rm E}(t) = {\rm F}^{-1}\big[H_{\rm E}(f)\big])$ ist optimal an den Sendegrundimpuls $g_s(t)$ angepasst, so dass Impulsinterferenzen keine Rolle spielen.
Versuchsdurchführung
Noch überarbeiten
- Wählen Sie zunächst die Nummer (1, ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
- Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
- Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
- $M=2$ steht für „Binärcode” und $M=4$ für „Quaternärärcode”.
- „Gauß” steht für bdquo;nach Gauß‐Empfangsfilter”.
- „Rechteck” steht für „Empfangsfilter mit rechteckförmiger Impulsantwort”.
Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:
- Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
- Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
Bis hierher
(1) Verdeutlichen Sie sich die Entstehung des Augendiagramms für $M=2 \text{, nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.4$. Wählen Sie hierfür „Einzelschritt”.
- Dieses Augendiagramm ergibt sich, wenn man das Detektionsnutzsignal $d(t)$ in Stücke der Dauer $2T$ unterteilt und diese Teile übereinander zeichnet.
- In $d(t)$ müssen alle „Fünf–Bit–Kombinationen” enthalten sein ⇒ mindestens $2^5 = 32$ Teilstücke ⇒ maximal $32$ unterscheidbare Linien.
- Das Diagramm bewertet das Einschwingverhalten des Nutzsignals. Je größer die (normierte) Augenöffnung ist, desto weniger Impulsinterferenzen gibt es.
(2) Gleiche Einstellung wie in (1). Zusätzlich gilt $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$. Bewerten Sie die ausgegebenen Größen $ö_{\rm norm}$, $\sigma_{\rm norm}$ und $p_{\rm U}$.
- $ö_{\rm norm}= 0.368$ zeigt an, dass die Symboldetektion durch benachbarte Impulse beeinträchtigt wird. Für impulsinterferenzfreie Binärsysteme gilt $ö_{\rm norm}= 1$.
- Die Augenöffnung kennzeichnet nur das Nutzsignal. Der Rauscheinfluss wird durch $\sigma_{\rm norm}= 0.168$ erfasst. Dieser Wert sollte möglichst klein sein.
- Die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = {\rm Q}(ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm}\approx 1.4\%)$ bezieht sich allein auf die „ungünstigsten Folgen”, bei „Gauß” z. B. $-1, -1, +1, -1, -1$.
- Andere Folgen werden weniger verfälscht ⇒ die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ ist (meist) deutlich kleiner als $p_{\rm U}$ (beschreibt den „Worst Case”).
(3) Die letzten Einstellungen bleiben. Mit welchem $f_{\rm G}/R_{\rm B}$–Wert wird die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ minimal? Auch das Augendiagramm betrachten.
- Der minimale Wert $p_{\rm U, \ min} \approx 0.65 \cdot 10^{-4}$ ergibt sich für $f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.8$, und zwar nahezu unabhängig vom eingestellten $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$.
- Der normierte Rauscheffektivwert steigt zwar gegenüber dem Versuch (2) von $\sigma_{\rm norm}= 0.168$ auf $\sigma_{\rm norm}= 0.238$ an.
- Dies wird aber durch die größere Augenöffnung $ö_{\rm norm}= 0.91$ gegenüber $ö_{\rm norm}= 0.368$ mehr als ausgeglichen $($Vergrößerungsfaktor $\approx 2.5)$.
(4) Für welche Grenzfrequenzen $(f_{\rm G}/R_{\rm B})$ ergibt sich eine völlig unzureichende Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} \approx 50\%$ ? Auch das Augendiagramm betrachten.
- Für $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.28$ ergibt sich ein geschlossenes Auge $(ö_{\rm norm}= 0)$ und damit eine worst–case Fehlerwahrscheinlichkeit in der Größenordnung von $50\%$.
- Die Entscheidung über ungünstig eingerahmte Bit muss mehr oder weniger zufällig erfolgen, auch bei guten Rauschverhältnissen $(10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 16 \ {\rm dB})$.
(5) Wählen Sie nun die Einstellungen $M=2 \text{, nach Spalt–TP, }T_{\rm E}/T = 1$, $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$ sowie „Auge – Gesamt”. Interpretieren Sie die Ergebnisse.
- Der Detektionsgrundimpuls ist dreieckförmig und das Auge vollständig geöffnet. Die normierte Augenöffnung ist demzufolge $ö_{\rm norm}= 1.$
- Aus $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$ folgt $E_{\rm B}/N_0 = 10$ ⇒ $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2\cdot E_{\rm B}/ N_0)} = \sqrt{0.05} \approx 0.224 $ ⇒ $p_{\rm U} = {\rm Q}(4.47) \approx 3.9 \cdot 10^{-6}.$
- Dieser Wert ist um den Faktor $15$ besser als in (3). Aber: Bei $H_{\rm K}(f) \ne 1$ ist der Matched-Filter-Empfänger so nicht anwendbar.
(6) Gleiche Einstellung wie in (5). Variieren Sie nun $T_{\rm E}/T$ im Bereich zwischen $0.5$ und $1.5$. Interpretieren Sie die Ergebnisse.
- Für $T_{\rm E}/T < 1$ gilt weiterhin $ö_{\rm norm}= 1$. Aber $\sigma_{\rm norm}$ wird größer, zum Beispiel $\sigma_{\rm norm} = 0.316$ für $T_{\rm E}/T =0.5$ ⇒ das Filter ist zu breitbandig!
- Für $T_{\rm E}/T > 1$ ergibt sich im Vergleich zu (5) ein kleineres $\sigma_{\rm norm}$. Aber Das Auge ist nicht mehr geöffnet. $T_{\rm E}/T =1.25$: $ö_{\rm norm}= g_0 - 2 \cdot g_1 = 0.???$.
(7) Wählen Sie nun die Einstellungen $M=2 \text{, CRO–Nyquist, }r_f = 0.2$ sowie „Auge – Gesamt”. Interpretieren Sie das Augendiagramm, auch für andere $r_f$–Werte.
- Im Gegensatz zu (6) ist hier der Grundimpuls für $|t|>T$ nicht Null, aber $g_d(t)$ hat äquidistane Nulldurchgänge: $g_0 = 1, \ g_1 = g_2 = 0$ ⇒ Nyquistsystem.
- Alle $32$ Augenlinien gehen bei $t=0$ durch nur zwei Punkte. Die vertikale Augenöffnung ist für alle maximal ⇒ $ö_{\rm norm}= 1$.
- Dagegen nimmt die horizontale Augenöffnung mit $r_f$ zu und ist $r_f = 1$ maximal gleich $T$ ⇒ Phasenjitter hat in diesem Fall nur geringen Einfluss.
(8) Gleiche Einstellung wie in (7). Variieren Sie nun $r_f$ im Hinblick auf minimale Fehlerwahrscheinlichkeit. Interpretieren Sie die Ergebnisse.
- $ö_{\rm norm}= 1$ gilt stets. Dagegen zeigt $\sigma_{\rm norm}$ eine leichte Abhängigkeit von $r_f$. DasMinimum $\sigma_{\rm norm}=0.236$ ergibt sich für $r_f = 0.9$ ⇒ $p_{\rm U} \approx 1.1 \cdot 10^{-5}.$
- Gegenüber dem bestmöglichen Fall gemäß (7) „Matched–Filter–Empfänger” ist $p_{\rm U}$ dreimal so groß, obwohl $\sigma_{\rm norm}$ nur um ca. $5\%$ größer ist.
- Dieser größere $\sigma_{\rm norm}$–Wert ist auf die Überhöhung des Rausch–LDS zurückzuführen, um den Abfall durch den Sender–Frequenzgang $H_{\rm S}$ auszugleichen.
Zur Handhabung des Applets
(A) Zeitbereich (Eingabe- und Ergebnisfeld)
(B) (A)–Darstellung numerisch, grafisch, Betrag
(C) Frequenzbereich (Eingabe- und Ergebnisfeld)
(D) (C)–Darstellung numerisch, grafisch, Betrag
(E) Auswahl: DFT $(t \to f)$ oder IDFT $(f \to t)$
(F) Vorgegebene $d(\nu)$–Belegungen (falls DFT), oder
Vorgegebene $D(\mu)$–Belegungen (falls IDFT)
(G) Eingabefeld auf Null setzen
(H) Eingabefeld zyklisch nach unten (bzw. oben) verschieben
( I ) Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauwahl
(J) Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung
(K) Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden
- Vorgegebene $d(\nu)$–Belegungen (für DFT):
- (a) entsprechend Zahlenfeld, (b) Gleichsignal, (c) Komplexe Exponentialfunktion der Zeit, (d) Harmonische Schwingung $($Phase $\varphi = 45^\circ)$,
- (e) Cosinussignal (eine Periode), (f) Sinussignal (eine Periode), (g) Cosinussignal (zwei Perioden), (h) Alternierende Zeitkoeffizienten,
- (i) Diracimpuls, (j) Rechteckimpuls, (k) Dreieckimpuls, (l) Gaußimpuls.
- Vorgegebene $D(\mu)$–Belegungen (für IDFT):
- (A) entsprechend Zahlenfeld, (B) Konstantes Spektrum, (C) Komplexe Exponentialfunktion der Frequenz, (D) äquivalent zur Einstellung (d) im Zeitbereich ,
- (E) Cosinussignal (eine Frequenzperiode), (F) Sinussignal (eine Frequenzperiode), (G) Cosinussignal (zwei Frequenzperioden), (H) Alternierende Spektralkoeffizienten,
- (I) Diracspektrum, (J) Rechteckspektrum, (K) Dreieckspektrum, (L) Gaußspektrum.
Über die Autoren
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.
- Die erste Version wurde 2003 von Thomas Großer im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
- 2019 wurde das Programm von Carolin Mirschina im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: Tasnád Kernetzky).
Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch Studienzuschüsse der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.
