Aufgabe 2.6: PN-Generator der Länge 5

PN-Generator der Länge $L = 5$

In der Grafik sehen Sie einen Pseudozufallsgenerator der Länge $L = 5$, der zur Erzeugung einer Binärfolge $\langle z_{\nu} \rangle$ eingesetzt werden soll.

Zum Startzeitpunkt seien alle Speicherzellen mit Einsen vorbelegt.
Zu jedem Taktzeitpunkt wird der Inhalt des Schieberegisters um eine Stelle nach rechts verschoben und der aktuell erzeugte Binärwert $z_{\nu}$ $(0$ oder $1)$ in die erste Speicherzelle eingetragen.

Hierbei ergibt sich $z_{\nu}$ aus der Modulo-2-Addition zwischen $z_{\nu-3}$ und $z_{\nu-5}$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen.

Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo Erläuterung der PN-Generatoren an einem Beispiel.

Fragebogen

	$G(D) = D^5 + D^2 +1$.
	$G(D) = D^5 + D^3 +1$.
	$G(D) = D^4 + D^2 +D$.

$O_{\rm G} \ = \ $

$\ \rm (oktal)$

$P\ = \ $

$O_{\rm R} \ = \ $

$\ \rm (oktal)$

	Es handelt sich ebenfalls um eine Folge maximaler Länge.
	Die Ausgangsfolge von $G_{\rm R}(D)$ ist die gleiche wie die des Generatorpolynoms $G(D)$.
	Die Ausgangsfolgen von $G_{\rm R}(D)$ und $G(D)$ sind zueinander invers.
	Beide Folgen zeigen gleiche statistische Eigenschaften.
	Bei $G_{\rm R}(D)$ können alle Speicherelemente mit Nullen vorbelegt sein.

Musterlösung

(1) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2 ⇒ $G(D) = D^5 + D^3 +1$.

Das Generatorpolynom $G(D)$ kennzeichnet die Rückführungen, die zur Modulo-2-Addition herangezogen werden.
$D$ ist ein formaler Parameter, der eine Verzögerung um einen Takt angibt.
$D^3$ kennzeichnet dann eine Verzögerung um drei Takte.

(2) Es ist $g_0 = g_3 = g_5 = 1$.

Alle anderen Rückführungskoeffizienten sind $0$. Daraus folgt:

$$(g_{\rm 5}\hspace{0.1cm}g_{\rm 4}\hspace{0.1cm}g_{\rm 3}\hspace{0.1cm}g_{\rm 2}\hspace{0.1cm}g_{\rm 1}\hspace{0.1cm}g_{\rm 0})=\rm (101001)_{bin}\hspace{0.15cm} \underline{=(51)_{oct}}.$$

(3) Da das Generatorpolynom $G(D)$ primitiv ist, erhält man eine M-Sequenz.

Dementsprechend ist die Periodendauer maximal:

$$P_{\rm max} = 2^{L}-1 \hspace{0.15cm}\underline {= 31}.$$

Im Theorieteil ist in der Tabelle mit den PN-Generatoren maximaler Länge (M-Sequenzen) für den Grad $5$ die Konfiguration $(51)_{\rm oct}$ aufgeführt.

(4) Das reziproke Polynom lautet:

$$G_{\rm R}(D)=D^{\rm 5}\cdot(D^{\rm -5}+\D^{\rm -3}+ 1)= D^{\rm 5}+D^{\rm 2}+1.$$

Somit ist die Oktalkennung für diese Konfiguration $\rm (100101)_{bin}\hspace{0.15cm} \underline{=(45)_{oct}}.$

(5) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

Die Ausgangsfolge der reziproken Realisierung $G_{\rm R}(D)$ eines primitiven Polynoms $G(D)$ ist immer ebenfalls eine M-Sequenz.
Beide Folgen sind zueinander invers. Das bedeutet:
Die Ausgangsfolge von $(45)_{\rm oct}$ ist gleich der Folge von $(51)_{\rm oct}$, wenn man diese von rechts nach links liest und zusätzlich eine Phase (zyklische Verschiebung) berücksichtigt.
Voraussetzung ist wieder, dass nicht alle Speicherzellen mit Nullen vorbelegt sind.
Unter dieser Bedingung weisen beide Folgen tatsächlich auch gleiche statistische Eigenschaften auf.