Aufgabe 2.7: C-Programme z1 und z2

C-Programme zur Erzeugung
diskreter Zufallsgrößen

Die beiden hier angegebenen C-Programme eignen sich zur Erzeugung diskreter Zufallsgrößen:

Die Funktion $z1$ erzeugt eine $M$–stufige Zufallsgröße mit dem Wertevorrat $\{0, 1$, ... , $M-1\}$. Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten werden im Array $\text{p_array}$ mit der Eigenschaft „Float” übergeben. Die Funktion $\text{random()}$ liefert gleichverteilte Float–Zufallsgrößen zwischen $0$ und $1$.

Eine zweite Funktion $z2$ (Quelltext siehe unten) liefert eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die beiden Parameter $I$ und $p$ festgelegt ist. Dieses geschieht unter Verwendung der Funktion $z1$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen.
Insbesondere wird auf die Seite Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen Bezug genommen.

Fragebogen

$z1 \ = \ $

	Man könnte auf die Zuweisung $\text{x = random()}$ in Zeile 5 verzichten und in Zeile 8 direkt mit $\text{random()}$ vergleichen.
	Sind alle übergebenen Wahrscheinlichkeiten gleich, so gäbe es schnellere Programmrealisierungen als $z1$.
	Der Rückgabewert $\text{random() = 0.2}$ führt zum Ergebnis $z1= 1$.

	Das Programm erzeugt eine binomialverteilte Zufallsgröße.
	Das Programm erzeugt eine poissonverteilte Zufallsgröße.
	Mit $I = 4$ sind für $z2$ die Werte $0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4$ möglich.
	Das Einbinden der mathematischen Bibliothek „math.h” ist erforderlich, da in $z2$ die Funktion „pow” (Potenzieren) verwendet wird.

$\text{p_array[2]} \ = \ $

Musterlösung

(1) Nach dem ersten Schleifendurchlauf ($m = 0$) ist die Variable $\text{summe = 0.2}$, beim nächsten $(m = 1)$ gilt $\text{summe = 0.2 + 0.3 = 0.5}$.
In beiden Fällen ist somit die Variable $\text{summe} < x = 0.75$. Erst bei $m = 2$ ist die Rücksprungbedingung erfüllt: $0.9 > x$. Somit ist $\underline{z1 = 2}$.

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Würde man auf die Hilfsvariable $x$ verzichten und in Zeile 8 $\text{summe > random()}$ schreiben, so würde bei jedem Schleifendurchgang ein neuer Zufallswert erzeugt und $z1$ hätte dann nicht die gewünschten Eigenschaften.
$z1$ arbeitet gemäß dem Schaubild auf der Seite „Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen“ im Theorieteil. Dort findet man eine deutlich schnellere Implementierung für den Fall gleicher Wahrscheinlichkeiten ($1/M$).
Im ersten Durchlauf ($m = 0$) ist in diesem Fall die Rücksprungbedingung aufgrund der Kleiner/Gleich–Abfrage nicht erfüllt; der Ausgabewert ist tatsächlich $z1 = 1$.

(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

Es ergibt sich eine binomialverteilte Zufallsgröße, und zwar mit Wertevorrat $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(z2 = 0) = (1 -p)^{I}$ benötigt man hier die mathematische Bibliothek.
Das Potenzieren könnte aber auch durch $I$–fache Multiplikation realisiert werden.

(4) Aufgrund der Zeile 6 beinhaltet das Feldelement $\text{p_array[0]}$ vor der Programmschleife $(i = 0)$ den Wert $(1 -p)^{I}$. Im ersten Schleifendurchlauf ($i = 1$) wird folgender Wert eingetragen:

$$\text{p_array[1]}=\frac{ p\cdot I}{ 1- p}\cdot\text{p_array[0]}= I\cdot p\cdot(1- p)^{ I- 1}={\rm Pr}(z2= 1) .$$

Im zweiten Schleifendurchlauf ($i = 2$) wird die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „$z2=2$” berechnet:

$$\text{p_array[2]}=\frac{p\cdot (I- 1)}{ 2\cdot ( 1- p)}\cdot\text{p_array[1]}= \left({ I \atop { 2}}\right)\cdot p^{\rm 2}\cdot( 1- p)^{\rm 2}={\rm Pr}( z2 = 2) .$$

Für $I= 4$ und $p = 0.25$ erhält man folgenden Zahlenwert („$4$ über $2$” ergibt $6$):

$$\text{p_array[2]}={\rm Pr}( z 2=2)=6\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{9}{16} \hspace{0.15cm}\underline{=0.211}.$$