Aufgabe 3.9: Kennlinie für Cosinus-WDF

Rechteck– und Cosinus–WDF

Gesucht ist eine stetige, monoton steigende nichtlineare Kennlinie $y =g(x)$, die aus einer zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilten Zufallsgröße $x$ eine neue Zufallsgröße $y$ mit „cosinusförmiger” WDF generiert:

$$f_y(y)=A\cdot\cos({\pi}/{2}\cdot y).$$

Die Zufallsgröße $y$ kann ebenfalls nur Werte zwischen $-1$ und $+1$ annehmen.
Die beiden Dichtefunktionen $f_x(x)$ und $f_y(y)$ sind nebenstehend skizziert.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Exponentialverteilte Zufallsgrößen.
Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite Transformation von Zufallsgrößen.

Fragebogen

	Außerhalb des Bereichs $-1 \le x \le +1$ kann $g(x)$ beliebig sein.
	Die Kennlinie muss symmetrisch um $x= 0$ sein: $g(-x) = g(x)$.
	Die Zufallsgröße $y$ hat eine kleinere Varianz als $x$.

$A \ = \ $

$h'(y = 0) \ = \ $

$h(y=1) \ = \ $

$g(x = 1) \ = \ $

Musterlösung

(1) Richtig sind die Aussagen 1 und 3:

Da $x$ nur Werte zwischen $\pm 1$ annehmen kann, ist der Verlauf der Kennlinie außerhalb dieses Bereichs für die Zufallsgröße $y$ ohne Belang.
Die Bedingung $g(-x) = g(x)$ muss nicht eingehalten werden. Es gibt beliebig viele Kennlinien, die die gewünschte WDF erzeugen können.
Die unter Punkt (5) berechnete Kennlinie ist beispielsweise punktsymmetrisch: $g(-x) = -g(x)$.
Schon die grafischen Darstellungen der beiden Dichtefunktionen zeigen, dass $\sigma_y^2 < \sigma_x^2$ ist.

(2) Das Integral über die WDF muss stets gleich $1$ sein. Daraus folgt:

$$\int_{-\rm 1}^{\rm 1}A\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot y)\, {\rm d} y=\frac{A\cdot \rm 4}{\pi}\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A=\frac{\pi}{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.785}.$$

(3) Die Transformationsformel kann wie folgt umgeformt werden:

$$f_y(y)=\frac{f_x(x)}{| g'(x)|}\Big|_{\, x=h(y)}=f_x(x)\cdot |h'(y)| \Big|_{\, x=h(y)}.$$

Die Umkehrfunktion $x = h(y)$ einer monoton ansteigenden Kennlinie $y = g(x)$ steigt ebenfalls monoton an.
Deshalb kann auf die Betragsbildung verzichtet werden und man erhält:

$$h\hspace{0.05cm}'(y)=\frac{f_y(y)}{f_x(x)\Big|_{\, x=h(y)}}={\pi}/{\rm 2}\cdot \cos({\pi}/{2}\cdot y).$$

An der Stelle $y = 0$ hat die Steigung den Wert $h'(y= 0)=π/2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.571}$.

(4) Man erhält durch (unbestimmte) Integration:

$$h(y)=\int h'(y)\, {\rm d} y + C = \frac{\pi}{2}\cdot \frac{2}{\pi}\cdot \sin(\frac{\pi}{ 2}\cdot y) + C.$$

Die Nebenbedingung $h(y= 0) = 0$ führt zur Konstanten $C = 0$ und damit zum Ergebnis:

$$h(y) = \sin({\pi}/{2}\cdot y) \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} h(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= 1}.$$

(5) Die Umkehrfunktion der in der Teilaufgabe (4) ermittelten Funktion $x = h(y)$ lautet:

$$y=g(x)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \rm arcsin({\it x}).$$

Diese Kennlinie steigt im Bereich $-1 \le x \le +1$ von $y = -1$ bis $y = +1$ monoton an.
Der gesuchte Wert ist also $g(x= 1) \hspace{0.15cm}\underline{= +1}$.