Aufgabe 4.11Z: C-Programm „akf2”

C-Programm $2$ zur AKF–Berechnung

Sie sehen rechts das C-Programm „akf2” zur Berechnung der diskreten AKF-Werte $\varphi_x(k)$ mit Index $k = 0$, ... , $l$.

Im Gegensatz zum Programm „akf1” aus Aufgabe 4.11 wird hier der im Theorieteil beschriebene Algorithmus direkt angewendet. Dabei ist zu beachten:

Der an das Programm übergebene Long-Wert sei hier $l=10$.
Die berechneten AKF-Werte $\varphi_x(0)$, ... , $\varphi_x(10)$ werden mit dem Float-Feld $\rm AKF[ \ ]$ an das Hauptprogramm zurückgegeben. In den Zeilen 7 und 8 wird dieses Feld mit Nullen vorbelegt.
Die Zufallsgröße $x( \ )$ ist als Float-Funktion in Zeile 4 definiert, ebenso ein Hilfsfeld ${\rm H}[10000 ]$, in das die $N = 10000$ Abtastwerte $x_\nu$ eingetragen werden (Zeile 9 und 10).
Die Bezeichnungen der Laufvariablen in Zeile 6 sind an den angegebenen Algorithmus angepasst.
Die eigentliche AKF-Berechnung erfolgt ab Zeile 11. Dieser Programmteil ist im Programmcode rot gekennzeichnet.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten
- Numerische AKF-Ermittlung,
- Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung.

Fragebogen

$S_{k=0} \ = \ $

$S_{k=10} \ = \ $

	Die Rechenzeit steigt linear mit $l + 1$, also mit der Anzahl der zu berechnenden AKF-Werte.
	Die Rechenzeit nimmt mit der Anzahl $N$ der berücksichtigten Abtastwerte quadratisch zu.
	Die Berechnung wird mit steigendem $N$ genauer.
	Wird eine Floatvariable mit $\rm 4 \ Byte$ dargestellt, so benötigt „akf2” mindestens $4 \cdot N$ Byte Speicherplatz.

	Je stärker die inneren statistischen Bindungen des Prozesses sind, desto ungenauer ist bei gegebenem $N$ das AKF-Ergebnis.
	Je stärker die inneren statistischen Bindungen des Prozesses sind, desto genauer ist bei gegebenem $N$ das AKF-Ergebnis.
	Besitzt der Prozess statistische Bindungen, so sind die Fehler der numerischen AKF-Berechnung ebenfalls korreliert. Beispiel: Ist der Wert $\varphi_x(k=5)$ zu groß, so werden mit großer Wahrscheinlichkeit auch $\varphi_x(k=4)$ und $\varphi_x(k=6)$ zu groß sein.

Musterlösung

(1) Zur Berechnung des AKF-Wertes $\varphi_x(0)$ wird über $\underline{N =10000}$ Summanden gemittelt, für $\varphi_x(10)$ nur über $\underline{N = 9990}$.

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

Die Rechenzeit steigt mit $N$ und $l + 1$ näherungsweise linear an, wie aus der rot hervorgehobenen AKF-Berechnung hervorgeht.
Die Rechenzeit für die weiteren Programmteile kann demgegenüber vernachlässigt werden.
Natürlich wird die Berechnung mit steigendem $N$ auch genauer.
Dies geht hier – im Gegensatz zum Programm „akf1” von Aufgabe 4.11 – allerdings auf Kosten des erforderlichen Speicherbedarfs.
Da jede Float-Variable genau vier Byte beansprucht, benötigt alleine das Hilfsfeld ${\rm H}[10000 ]$ einen Speicher von 40 kByte.

(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

Je stärker die statistischen Bindungen innerhalb des Zufallsprozesses sind, desto ungenauer ist bei gegebenem $N$ die AKF-Berechnung.
Diesen Sachverhalt kann man sich beispielsweise anhand der Leistungsberechnung (AKF-Wert bei $k=0$) verdeutlichen:
- Sind alle N Abtastwerte statistisch unabhängig, so liefern alle Beiträge die maximale Information über den AKF–Wert $\varphi_x(k=0)$.
- Bestehen jedoch statistische Bindungen zwischen $x_\nu$ und $x_{\nu+1}$, nicht jedoch zwischen $x_\nu$ und $x_{\nu+2}$, so liefern nur die Hälfte aller Abtastwerte die volle Information über $\varphi_x(k=0)$ und die anderen nur eingeschränkte Informationen.
Dieser auf Korrelationen beruhende Informationsverlust kann in diesem Beispiel nur durch eine Verdopplung von $N$ ausgeglichen werden.
Die letzte Aussage trifft ebenfalls zu, wie auf der Seite „Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung” im Theorieteil ausführlich erläutert wird.