Aufgabe 5.4: Sinusgenerator

Vorgeschlagene Filterstruktur

Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zum Beispiel zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor (DSP) geeignet ist:

$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle = \left\langle {\, \sin ( {\nu T \cdot \omega _0 } )\, }\right\rangle .$$

Vorausgesetzt wird, dass die Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ eine (zeitdiskrete) Diracfunktion beschreibt. Damit sind gleichzeitig alle Ausgangswerte $y_\nu$ für Zeiten $\nu\lt 0$ identisch Null.
Die insgesamt fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der $z$-Transformation:

$$z \{ {\sin ( {\nu T \omega _0 } )} \} = \frac{{z \cdot \sin \left( {\omega _0 T} \right)}}{{z^2 - 2 \cdot z \cdot \cos \left( {\omega _0 T} \right) + 1}}.$$

Setzt man diese Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung $(M = 2)$ um, so erhält man die folgenden Filterkoeffizienten:

$$a_0 = 0,\quad a_1 = \sin \left( {\omega _0 T} \right),\quad a_2 = 0, \quad b_1 = 2 \cdot \cos \left( {\omega _0 T} \right),\quad b_2 = - 1.$$

In der Grafik ist bereits durch die hellere Umrandung markiert, dass auf die Filterkoeffizienten $a_0$ und $a_2$ verzichtet werden kann.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Digitale Filter im vorliegenden Buch.

Für die Teilaufgaben (1) bis (3) gelte:

$$a_1 = 0.5,\quad b_1 = \sqrt 3 .$$

Fragebogen

$y_0 \ = \ $

$y_1 \ = \ $

$y_2 \ = \ $

$y_7 \ = \ $

$T_0/T\ = \ $

$a_1 \ = \ $

$b_1 \ = \ $

Musterlösung

(1) Die „$1$” am Eingang wirkt sich (wegen $a_0= 0$) am Ausgang erst zum Zeitpunkt $\nu = 1$ aus:

$$y_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 0},\quad y_1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 0.5}.$$

Bei $\nu = 2$ wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam:

$$y_2 = b_1 \cdot y_1 - y_0 = {\sqrt 3 }/{2} \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.866}.$$

(2) Für $\nu \ge 2$ ist das Filter rein rekursiv:

$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} - y_{\nu - 2} .$$

Insbesondere erhält man

$$y_3 = \sqrt 3 \cdot y_2 - y_1 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1;$$

$$y_4 = \sqrt 3 \cdot y_3 - y_2 = \sqrt 3 \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$$

$$y_5 = \sqrt 3 \cdot y_4 - y_3 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - 1 = {1}/{2};$$

$$y_6 = \sqrt 3 \cdot y_5 - y_4 = \sqrt 3 \cdot {1}/{2} - {\sqrt 3 }/{2} = 0;$$

$$y_7 = \sqrt 3 \cdot y_6 - y_5 = \sqrt 3 \cdot 0 - {1}/{2} \hspace{0.15cm} \underline{= - 0.5}.$$

(3) Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses der Teilaufgabe (2) erhält man für große $\nu$–Werte: $y_\nu = y_{\nu - 12} .$

Daraus folgt $T_0/T\hspace{0.15cm} \underline{= 12}$. Zum gleichen Ergebnis kommt man durch folgende Überlegungen:

$$a_1 = \sin \left( {\omega _0 \cdot T} \right) = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right)\mathop = \limits^! {1}/{2} = \sin \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) \;\;{\rm \Rightarrow} \;\;{2T}/{T_0 } = {1}/{6}\quad \Rightarrow \;\;{T_0 }/{T} = 12.$$

Die Überprüfung des Koeffizienten $b_1$ bestätigt die Rechnung:

$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) = 2 \cdot c{\sqrt 3 }/{2} = \sqrt 3 .$$

(4) Aus $f_0 = 10 \hspace{0.05cm} \rm kHz$ folgt $T_0 = 100 \hspace{0.05cm} \rm µ s$ bzw. $T_0/T = 100$ . Damit erhält man:

$$a_1 = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = \sin \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.062},$$

$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = 2 \cdot \cos \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.996}.$$