Aufgabe 2.1Z: ZSB-AM ohne/mit Träger

Die bei der AM beteiligten Signale

Die Grafik zeigt als rote Kurve einen Ausschnitt des Sendesignals $s(t) = q(t) · z(t)$ einer Zweiseitenband–Amplitudenmodulation (abgekürzt mit ZSB-AM) ohne Träger. Die Dauer des Zeitausschnitts beträgt $\rm 200 \ µ s$.

Zusätzlich sind in der Grafik eingetragen:

das Quellensignal (als blau–gestrichelte Kurve):

$$q(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N}),$$

das Trägersignal (grau–gepunkteter Verlauf):

$$z(t) = 1 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})$$

Ab der Teilaufgabe (4) wird die „ZSB–AM mit Träger” betrachtet. Dann gilt mit $A_{\rm T} = 2\text{ V}$:

$$s(t) = \left(q(t) + A_{\rm T} \right) \cdot z(t) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweiseitenband-Amplitudenmodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Beschreibung im Zeitbereich und ZSB-Amplitudenmodulation mit Träger.

Fragebogen

$\phi_{\rm N} \ = \ $

$\ \text{Grad}$

$\phi_{\rm T} \ = \ $

$\ \text{Grad}$

$f_{\rm N} \ = \ $

$\ \text{kHz}$

$f_{\rm T} \ = \ $

$\ \text{kHz}$

	Alle Nulldurchgänge von $z(t)$ bleiben in $s(t)$ erhalten.
	Es gibt weitere Nullstellen, verursacht durch $q(t)$.
	Es gilt $s(t) = a(t) · \cos(ω_T · t)$ mit $a(t) = \|q(t)\|$.

$f_1 \ = \ $

$\ \text{kHz}$

$f_2\ = \ $

$\ \text{kHz}$

$m \ = \ $

	$S(f)$ beinhaltet nun auch Diracfunktionen bei $±f_{\rm T}$.
	Die Gewichte dieser Diraclinien sind jeweils $2\text{ V}$.
	$q(t)$ ist in der Hüllkurve von $s(t)$ zu erkennen.
	Durch den zusätzlichen Trägeranteil bleibt die Leistung unverändert.

Musterlösung

(1) Beide Signale sind cosinusförmig ⇒ $ϕ_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$ und $ϕ_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$.

(2) Aus der Grafik können für $q(t)$ und $z(t)$ die Periodendauern $200$ μs bzw. $20$ μs abgelesen werden.

Daraus ergeben sich die Frequenzen zu $f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline { = 5}$ kHz und $f_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline { = 50}$ kHz.

(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

Die Nullstellen von $z(t)$ bei $±5$ μs, $±15$ μs, $±25$ μs, ... sind auch im Signal $s(t)$ vorhanden ⇒ Aussage 1 ist richtig.
Weitere Nullstellen von $s(t)$ – verursacht durch $q(t)$ – liegen bei $±50$ μs, $±150$ μs, $±250$ μs, .... ⇒ Aussage 2 ist richtig.
Die dritte Aussage trifft dagegen nicht zu, sondern es gilt: $ s(t) = a(t) \cdot \cos[\omega_{\rm T} t + \phi (t)] \hspace{0.05cm}.$
Für $q(t) > 0$ ist die Phasenfunktion $ϕ(t) = 0$ und $s(t)$ ist gleichlaufend mit $z(t)$.
Dagegen gilt für $q(t) < 0$: $ϕ(t) = π = 180^\circ$.
Bei den Nulldurchgängen von $q(t)$ weist das modulierte Signal $s(t)$ Phasensprünge auf.

ZSB–AM–Spektrum $Z(f)$, $Q(f)$ und $S(f)$

(4) Das Spektrum $S(f)$ ergibt sich aus der Faltung der Spektralfunktionen $Z(f)$ und $Q(f)$, die jeweils aus nur zwei Diracfunktionen bestehen. Die Grafik zeigt das Ergebnis.

Die rot eingezeichneten Diracfunktionen gelten nur für die „ZSB–AM mit Träger” und beziehen sich auf die Teilaufgabe (6).
Die Faltung der beiden $Z(f)$–Diracfunktionen bei $f_{\rm T} = 50\text{ kHz}$ mit $Q(f)$ führt zu den Diraclinien bei $f_{\rm T} - f_{\rm N}$ und $f_{\rm T} + f_{\rm N}$, jeweils mit Gewicht $0.5 · 0.5\text{ V}= 0.25\text{ V}$.
Die gesuchten Werte sind somit $f_1\hspace{0.15cm}\underline { = 45 \ \rm kHz}$ und $f_1\hspace{0.15cm}\underline { = 55 \ \rm kHz}$.
Die mit zwei Markierungsstrichen versehene Diracfunktion $0.5 · δ(f + f_{\rm T})$ führt zu zwei weiteren Diraclinien bei $-f_1$ und $-f_2$.

(5) Der Modulationsgrad berechnet sich zu:

$$ m = \frac{q_{\rm max}}{A_{\rm T}} = \frac{A_{\rm N}}{A_{\rm T}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$

(6) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

Gemäß der Skizze ergeben sich Diraclinien bei $±f_{\rm T}$, beide mit dem Impulsgewicht $A_{\rm T}/2 = 1\text{ V}$.
Bei $m ≤ 1$ ist $q(t)$ in der Hüllkurve erkennbar und Hüllkurvendemodulation anwendbar.
Allerdings muss diese einfachere Empfängervariante durch eine sehr viel größere Sendeleistung erkauft werden.
In diesem Beispiel $(m = 0.5)$ wird die Sendeleistung durch den Trägerzusatz verneunfacht.