Exercise 1.5: Reconstruction of the Jakes Spectrum

Betrachtetes Jakes–Spektrum

Bei einem Mobilfunksystem macht sich der Dopplereffekt auch im Leistungsdichtespektrum der Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$ bemerkbar.

Es ergibt sich das so genannte Jakes–Spektrum, das für die maximale Dopplerfrequenz $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$ in der Grafik dargestellt ist. ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$ hat nur Anteile innerhalb des Bereichs $± f_{\rm D, \ max}$, wobei gilt:

$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{2 \cdot \sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } \hspace{0.05cm}.$$

Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum (LDS) ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion (AKF). Diese ergibt sich aus ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$ durch die Fourierrücktransformation.

Mit der Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung $({\rm J}_0)$ erhält man:

$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$

Um den Dopplereffekt und damit eine Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger – bei einer Systemsimulation zu berücksichtigen, werden im Rayleigh–Kanalmodell zwei digitale Filter eingefügt, jeweils mit dem Frequenzgang $H_{\rm DF}(f_{\rm D})$.

Die Dimensionierung dieser Filter ist Inhalt dieser Aufgabe.

Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils $x(t)$. Für den Imaginärteil $y(t)$ ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.
Am Eingang des im Rayleigh–Kanalmodell linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen $n(t)$ mit der Varianz $\sigma^2 = 0.5$ an.
Die Realteilkomponente ergibt sich dann gemäß der Faltung zu

$$x(t) = n(t) \star h_{\rm DF}(t) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh–Prozesses.
Das digitale Filter wird im Kapitel Digitale Filter des Buches „Stochastische Signaltheorie” ausführlich behandelt.

Fragebogen

${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0)\ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –3} \ 1/{\rm Hz}$

	Es gilt $H_{\rm DF}(f_{\rm D}) = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$.
	Es gilt $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|^2 = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$

	$K$ kann beliebig gewählt werden.
	Das Integral über $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|$ muss $1$ ergeben.
	Das Integral über $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|^2$ muss $1$ ergeben.

	Ja.
	Nein.

Musterlösung

(1) Das Jakes–Spektrum des Realteils ist halb so groß wie das resultierende Spektrum ${\it \Phi}_z(f)$:

$${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0) = {\it \Phi}_y(f_{\rm D} = 0) = \frac{{\it \Phi}_z(f_{\rm D} = 0)}{2}= \frac{\sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}} = \frac{0.5}{\pi \cdot 100\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1.59 \cdot 10^{-3}\,\,{\rm Hz^{-1}}} \hspace{0.05cm}.$$

(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Das Eingangssignal $n(t)$ besitzt ein weißes (konstantes) LDS ${\it \Phi}_n(f_{\rm D})$.
Für das LDS am Ausgang gilt dann:

$${\it \Phi}_x(f_{\rm D}) = {\it \Phi}_n(f_{\rm D}) \cdot | H_{\rm DF}(f_{\rm D}|^2 \hspace{0.05cm}.$$

(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3.

Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, hat das Signal $x(t)$ die gleiche Varianz $\sigma^2$ wie das Rauschsignal $n(t)$.

(4) Richtig ist NEIN:

Die beiden Bedingungen nach den Teilaufgaben (2) und (3) beziehen sich nur auf die Betragsfunktion.
Für die Phase des digitalen Filters gibt es keine Vorschrift.
Diese ist frei wählbar. Meist wählt man diese so, dass sich ein minimalphasiges Netzwerk ergibt.
In diesem Fall hat dann die Impulsantwort $h_{\rm DF}(t)$ die geringst mögliche Ausdehnung.

Die Grafik zeigt das Ergebnis der Approximation. Die roten Kurven wurden simulativ über $100\hspace{0.05cm}000$ Abtastwerte ermittelt. Man erkennt:

Approximation des Jakes–Spektrums und der AKF

Das Jakes–Leistungsdichtespektrum (linke Grafik) lässt sich aufgrund des senkrechten Abfalls bei $± f_{\rm D, \ max}$ nur sehr ungenau nachbilden.
Für den Zeitbereich bedeutet dies, dass die AKF sehr viel schneller abfällt, als es die Theorie besagt.
Für kleine $\Delta t$–Werte ist die Approximation aber sehr gut (rechte Grafik).