Exercise 2.2Z: Real Two-Path Channel

Zweiwege–Szenario

Betrachtet wird das skizzierte Szenario, bei dem das Sendesignal $s(t)$ die Antenne des Empfängers über zwei Wege erreicht:

$$r(t) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} r_1(t) + r_2(t) =k_1 \cdot s( t - \tau_1) + k_2 \cdot s( t - \tau_2) \hspace{0.05cm}.$$

Dabei ist zu beachten:

Die Laufzeiten $\tau_1$ und $\tau_2$ auf Haupt– und Nebenpfad können aus den Pfadlängen $d_1$ und $d_2$ unter Verwendung der Lichtgeschwindigkeit $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$ berechnet werden.
Die Amplitudenfaktoren $k_1$ und $k_2$ sollen vereinfachend gemäß dem Pfadverlustmodell mit dem Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$ angenommen werden (Freiraumdämpfung).
Die Höhe der Sendeantenne ist $h_{\rm S} = 500 \ \rm m$, die der Empfangsantenne $h_{\rm E} = 30 \ \rm m$. Die Antennen stehen im Abstand von $d = 10 \ \rm km$.
Die Reflektion auf dem Nebenpfad führt zu einer Phasenänderung um $\pi$, so dass man die Teilsignale subtrahieren muss. Dies wird durch einen negativen $k_2$–Wert berücksichtigt.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mehrwegeempfang beim Mobilfunk.

Fragebogen

$d_1 \ = \ $

$\ \rm m$

$d_2 \ = \ $

$\ \rm m$

$\Delta d \ = \ $

$\ \rm m$

$\Delta \tau \ = \ $

$\ \rm ns$

	$\Delta \tau = (h_{\rm S} \ - h_{\rm E})/d$,
	$\Delta \tau = (h_{\rm S} \ - h_{\rm E})/(c \cdot d)$,
	$\Delta \tau = 2 \cdot h_{\rm S} \cdot h_{\rm E}/(c \cdot d)$.

	Die Koeffizienten $k_1$ und $k_2$ sind betragsmäßig nahezu gleich.
	Die Beträge $\|k_1\|$ und $\|k_2\|$ unterscheiden sich deutlich.
	Die Koeffizienten $\|k_1\|$ und $\|k_2\|$ unterscheiden sich im Vorzeichen.

Musterlösung

(1) Mit den Bezeichnungen in der Veranschaulichungsskizze ergibt sich nach „Pythagoras”:

$$d_1 = \sqrt{d^2 + (h_{\rm S}- h_{\rm E})^2} = \sqrt{10^2 + (0.5- 0.03)^2} \,\,{\rm km} \hspace{0.1cm} \underline {=10011.039\,{\rm m}} \hspace{0.05cm}.$$

Eigentlich ist die Angabe einer solchen Länge mit der Genauigkeit eines Millimeters nicht sehr sinnvoll und widerspricht der Mentalität eines Ingenieurs.
Wir haben das hier trotzdem gemacht, um die Genauigkeit der in der Teilaufgabe (4) gesuchten Näherung überprüfen zu können.

(2) Klappt man den reflektierten Strahl rechts vpn $x_{\rm R}$ nach unten (Spiegelung am Erdboden), so erhält man wiederum ein rechtwinkliges Dreieck. Daraus folgt:

$$d_2 = \sqrt{d^2 + (h_{\rm S}+ h_{\rm E})^2} = \sqrt{10^2 + (0.5+ 0.03)^2} \,\,{\rm km} \hspace{0.1cm} \underline {=10014.035\,{\rm m}} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Mit den Ergebnissen aus (1) und (2) erhält man für die Längen– und die Laufzeitdifferenz:

$$\Delta d = d_2 - d_1 = \hspace{0.1cm} \underline {=2.996\,{\rm m}} \hspace{0.05cm},\hspace{1cm} \Delta \tau = \frac{\Delta d}{c} = \frac{2.996\,{\rm m}}{3 \cdot 10^8 \,{\rm m/s}} \hspace{0.1cm} \underline {=9.987\,{\rm ns}} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Mit $h_{\rm S} + h_{\rm E} \ll d$ lassen sich die obigen Gleichung wie folgt ausdrücken:

$$d_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} d \cdot \sqrt{1 + \frac{(h_{\rm S}- h_{\rm E})^2}{d^2}} \approx d \cdot \left [ 1 + \frac{(h_{\rm S}- h_{\rm E})^2}{2d^2} \right ] \hspace{0.05cm},\hspace{1cm} d_2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} d \cdot \sqrt{1 + \frac{(h_{\rm S}+ h_{\rm E})^2}{d^2}} \approx d \cdot \left [ 1 + \frac{(h_{\rm S}+ h_{\rm E})^2}{2d^2} \right ] $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \Delta d = d_2 - d_1 \approx \frac {1}{2d} \cdot \left [ (h_{\rm S}+ h_{\rm E})^2 - (h_{\rm S}- h_{\rm E})^2 \right ] = \frac {2 \cdot h_{\rm S}\cdot h_{\rm E}}{d}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \Delta \tau = \frac{\Delta d}{c} \approx \frac {2 \cdot h_{\rm S}\cdot h_{\rm E}}{c \cdot d} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist also der Lösungsvorschlag 3. Mit den vorgegebenen Zahlenwerten erhält man hierfür:

$$\Delta \tau \approx \frac {2 \cdot 500\,{\rm m}\cdot 30\,{\rm m}}{3 \cdot 10^8 \,{\rm m/s} \cdot 10000\,{\rm m}} = 10^{-8}\,{\rm s} = 10\,{\rm ns} \hspace{0.05cm}.$$

Die relative Verfälschung gegenüber dem tatsächlichen Wert entsprechend Teilaufgabe (3) beträgt nur $0.13\%$.
Beim Lösungsvorschlag 1 stimmt schon die Einheit nicht.
Bei Lösungsvorschlag 2 käme es zu keiner Laufzeitverschiebung, wenn beide Antennen die gleiche Höhe hätten. Dies trifft sicher nicht zu.

(5) Der Pfadverlustexponent $\gamma = 2$ sagt aus, dass die Empfangsleistung $P_{\rm E}$ quadratisch mit der Distanz abnimmt.

Die Signalamplitude nimmt also mit $1/d$ ab, und mit einer Konstanten $K$ gilt:

$$k_1 = \frac {K}{d_1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}|k_2| = \frac {K}{d_2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac {|k_2|}{k_1} = \frac {d_1}{d_2}= \frac {10011.039\,{\rm m}}{10014.035\,{\rm m}} \approx 0.99 \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Pfadgewichte unterscheiden sich somit im Betrag nur um etwa $1\%$.
Allerdings haben die Koeffizienten $k_1$ und $k_2$ verschiedene Vorzeichen ⇒ Richtig sind die Antworten 1 und 3.