Aufgabe 1.2: Lognormal – Kanalmodell

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
des Lognormal–Fadings

Wir betrachten eine Mobilfunkzelle im städtischen Bereich und ein Fahrzeug, das sich näherungsweise in einem festen Abstand $d_0$ von der Basisstation aufhält. Beispielsweise bewegt es sich auf einem Kreisbogen um die Basisstation.

Somit ist der gesamte Pfadverlust durch folgende Gleichung beschreibbar:

$$V_{\rm P} = V_{\rm 0} + V_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$

$V_0$ berücksichtigt den entfernungsabhängigen Pfadverlust, der mit $V_0 = 80 \ \rm dB$ als konstant angenommen wird.
Der Verlust $V_{\rm S}$ ist auf Abschattungen (Shadowing) zurückzuführen, der durch die Lognormal–Verteilung mit folgender Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\rm (WDF)$ ausreichend genau beschrieben wird (siehe Grafik):

$$f_{V_{\rm S}}(V_{\rm S}) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}} \cdot {\rm e }^{ - { (V_{\rm S}\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}m_{\rm S})^2}/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sigma_{\rm S}^2) }$$

Beispielsweise gelten für die Teilaufgaben (2) und (3) die Zahlenwerte:

$$m_{\rm S} = 20\,\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \sigma_{\rm S} = 0\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}{\rm bzw.}\hspace{0.15cm}\sigma_{\rm S} = 10\,\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

Gehen Sie außerdem von folgenden einfachen Annahmen aus:

Die Sendeleistung beträgt $P_{\rm S} = 10 \ \rm W$ $($umgerechnet: $+40 \ \rm dBm)$.
Die Empfangsleistung soll mindestens $P_{\rm E} = 10 \ \rm pW$ $($umgerechnet: $-80 \ \rm dBm)$ betragen.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung.

Für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie folgende (grobe) Näherungen verwenden:

$${\rm Q}(1) \approx 0.16\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Q}(2) \approx 0.02\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Q}(3) \approx 10^{-3}\hspace{0.05cm}.$$

Oder Sie benutzen unser Applet Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen.

Fragebogen

	Ja,
	Nein.

${\rm Pr(System \ funktioniert)} \ = \ $

$\ \%$

${\rm Pr(System \ funktioniert)}\ = \ $

$\ \%$

$V_0 \ = \ $

$\ \rm dB$

Musterlösung

(1) Richtig ist $\rm JA$:

Aus dem $\rm dB$–Wert $V_0 = 80 \ \rm dB$ folgt der absolute (lineare) Wert $K_0 = 10^8$. Damit beträgt die Empfangsleistung

$$P_{\rm E} = P_{\rm S}/K_0 = 10 \ {\rm W}/10^8 = 100 \ {\rm nW} > 10 \ \rm pW.$$

Man kann dieses Problem auch direkt mit den logarithmischen Größen lösen:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{P_{\rm E}}{1\,\,{\rm mW}} = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{P_{\rm S}}{1\,\,{\rm mW}} - V_0 = 40\,{\rm dBm} -80\,\,{\rm dB} = -40\,\,{\rm dBm} \hspace{0.05cm}.$$

Gefordert ist aber lediglich der Grenzwert $–80 \ \rm dBm$.

(2) Lognormal–Fading mit $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$ ist gleichbedeutend mit einer konstanten Empfangsleistung $P_{\rm E}$.

Gegenüber der Teilaufgabe (1) ist diese um $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ kleiner ⇒ $P_{\rm E} = \ –60 \ \rm dBm$.
Sie ist aber immer noch größer als der vorgegebene Grenzwert ($-80 \ \rm dBm$).
Daraus folgt: Das System ist (fast) zu 100% funktionsfähig.
„Fast” deshalb, weil es bei einer Gaußschen Zufallsgröße immer eine (kleine) Restunsicherheit gibt.

(3) Die Empfangsleistung ist dann zu gering $($kleiner als $-80 \ \rm dBm)$, wenn der Leistungsverlust durch den Lognormal–Term $40 \ \rm dB$ oder mehr beträgt.

Verlust durch das Lognormal–Fading

Der veränderliche Anteil $V_{\rm S}$ darf also nicht größer sein als $20 \ \rm dB$.
Daraus folgt:

$${\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert\hspace{0.15cm}nicht"})= {\rm Q}\left ( \frac{20\,\,{\rm dB}}{\sigma_{\rm S} = 10\,{\rm dB}}\right ) $$

$$\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert\hspace{0.15cm}nicht"})= {\rm Q}(2) \approx 0.02$$

$$\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert"})= 1- 0.02 \hspace{0.15cm} \underline{\approx 98\,\%}\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik verdeutlicht das Ergebnis.

Dargestellt ist hier die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{\rm VS}(V_{\rm S})$ des Pfadverlustes durch Shadowing (Longnormal–Fading).
Die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt, ist rot markiert:

(4) Aus der Verfügbarkeitswahrscheinlichkeit $99.9 \%$ folgt die Ausfallwahrscheinlichkeit $10^{\rm –3} \approx \ {\rm Q}(3)$.

Verringert man den entfernungsabhängigen Pfadverlust $V_0$ um $10 \ \rm dB$ auf $\underline {70 \ \rm dB}$, so kommt es erst dann zu einem Ausfall, wenn $V_{\rm S} ≥ 50 \ \rm dB$ ist.
Damit wäre genau die geforderte Zuverlässigkeit erreicht, wie die folgende Rechnung zeigt:

$${\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert\hspace{0.15cm}nicht"})= {\rm Q}\left ( \frac{120-70-20}{10}\right ) = {\rm Q}(3) \approx 0.001 \hspace{0.05cm}.$$