Aufgabe 2.5: Restredundanz bei LZW-Codierung

Restredundanz $r(N)$ und
Näherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ dreier Binärquellen

Wir gehen hier von einer binären Eingangsfolge der Länge $N$ aus und betrachten drei verschiedene binäre Nachrichtenquellen:

$\rm BQ1$: Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm A} = 0.89$ und $p_{\rm B} = 0.11$, also unterschiedlich
⇒ Entropie $H = 0.5\text{ bit/Quellensymbol}$ ⇒ die Quelle ist redundant.
$\rm BQ2$: $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$ (gleichwahrscheinlich)
⇒ Entropie $H = 1\text{ bit/Quellensymbol}$ ⇒ die Quelle ist redundanzfrei.
$\rm BQ3$: Hier gibt es keine konkreten Angaben zur Statistik.
In der Teilaufgabe (6) sollen Sie die Entropie $H$ dieser Quelle abschätzen.

Für diese drei Quellen wurden per Simulation die jeweilige Restredundanz $r(N)$ ermittelt, die nach der Lempel–Ziv–Welch–Codierung in der Binärfolge verbleibt.

Die Ergebnisse sind in der jeweils ersten Spalte obiger Tabelle für die Quellen

$\rm BQ1$ (gelbe Hinterlegung),
$\rm BQ2$ (grüne Hinterlegung) und
$\rm BQ3$ (blaue Hinterlegung)

eingetragen, wobei wir uns bei der Simulation auf Folgenlängen $N ≤ 50000$ beschränkt haben.

Die relative Redundanz der Ausgangsfolge – vereinfachend „Restredundanz” genannt – kann aus

der Länge $N$ der Eingangsfolge,
der Länge $L(N)$ der Ausgangsfolge und
der Entropie $H$

in folgender Weise berechnet werden:

$$r(N) = \frac{L(N) - N \cdot H}{L(N)}= 1 - \frac{ N \cdot H}{L(N)}\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass bei perfekter Quellencodierung die Länge der Ausgangsfolge bis auf den Wert $L_{\rm min} = N · H$ herabgesenkt werden könnte.

Bei nichtperfekter Quellencodierung gibt $L(n) - N · H$ die verbleibende Redundanz (mit der Pseudo–Einheit „bit”) an.
Nach Division durch $L(n)$ erhält man die relative Redundanz $r(n)$ mit dem Wertebereich zwischen Null und Eins; $r(n)$ sollte möglichst klein sein.

Eine zweite Kenngröße zur Effizienzmessung der LZW–Codierung ist der „Komprimierungsfaktor” $K(N)$, der als der Quotient der Längen von Ausgangs– und Eingangsfolge ebenfalls klein sein sollte:

$$K(N) = {L(N) }/{N} \hspace{0.05cm},$$

Im Theorieteil wurde gezeigt, dass die Restredundanz $r(n)$ oft durch die Funktion

$$r\hspace{0.05cm}'(N) =\frac {A}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N)} \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} A = 4 \cdot {r(N = 10000)} \hspace{0.05cm}.$$

gut angenähert wird.

Diese Näherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ ist für $\rm BQ1$ in der zweiten Spalte obiger Tabelle angegeben.
In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie die Approximation für die Quellen $\rm BQ2$ und $\rm BQ3$ vornehmen.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Komprimierung nach Lempel, Ziv und Welch.
Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten

Restredrundanz als Maß für die Effizienz von Codierverfahren,

Effizienz der Lempel-Ziv-Codierung sowie

Quantitative Aussagen zur asymptotischen Optimalität.

Die Beschreibungsgrößen $K(N)$ und $r(N)$ hängen deterministisch zusammen.

Fragebogen

$A \ = \ $

$N_{2} \ = \ $

$\ \cdot 10^{21}$

$N_{3} \ = \ $

$\ \cdot 10^{6}$

$r'(N = 50000)\ = \ $

$r'(N = 10^6)\ = \ $

$r'(N = 10^{12})\ = \ $

$r'(N = 50000)\ = \ $

$r'(N = 10^6)\ = \ $

$r'(N = 10^{12})\ = \ $

	$H = 1.00 \ \rm bit/Quellensymbol$,
	$H = 0.75 \ \rm bit/Quellensymbol$,
	$H = 0.50 \ \rm bit/Quellensymbol$,
	$H = 0.25 \ \rm bit/Quellensymbol$.

Musterlösung

(1) Die Näherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ stimmt per Definition für die Folgenlänge $N = 10000$ mit der per Simulation ermittelten Restredundanz $r(N) = 0.265$ exakt überein.

Damit ist

$$A = 4 \cdot r(N = 10000) =4 \cdot {0.265} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.06} \hspace{0.05cm}. $$

(2) Aus der Beziehung ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N) ≤ 0.05$ ⇒ ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N_2) = 0.05$ folgt:

$${{\rm lg}\hspace{0.1cm}N_{\rm 2}} = \frac{A}{0.05} = 21.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} N_{\rm 2} = 10^{21.2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.58 \cdot 10^{21}} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Allgemein gilt $r(N) = 1 - {H}/{K(N)} \hspace{0.05cm}.$

$\rm BQ1$ hat die Entropie $H = 0.5$ bit/Symbol.
Daraus folgt wegen $r(N) ≈ r\hspace{0.05cm}'(N)$ für $K(N_3) = 0.6$:

$$r(N_{\rm 3}) = 1 - \frac{0.5}{0.6} = 0.167 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} {\rm lg}\hspace{0.1cm}N_{\rm 3} = \frac{A}{0.167} = 6.36 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} N_{\rm 3} = 10^{6.36} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.29 \cdot 10^{6}} \hspace{0.05cm}.$$

Ergebnisse für $\rm BQ2$

(4) Für $N = 10000$ gilt $r(N) ≈ r\hspace{0.05cm}'(N) = 0.19$:

$$\frac{A}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}10000} = 0.19 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} A = 0.19 \cdot 4 = 0.76 \hspace{0.05cm}. $$

Die Ergebnisse sind in nebenstehender Tabelle zusammengefasst.
Man erkennt die sehr gute Übereinstimmung zwischen $r(N)$ und $r\hspace{0.05cm}'(N)$.
Die gesuchten Zahlenwerte sind in der Tabelle rot markiert:

$$r'(N = 50000)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.162},\hspace{0.3cm}r'(N = 10^{6})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.127},\hspace{0.3cm} r'(N = 10^{12})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.063}.$$

Für den Komprimierungsfaktor gilt (der Apostroph weist darauf hin, dass von der Näherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ ausgegangen wurde):

$$K\hspace{0.05cm}'(N) = \frac{1}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)}\hspace{0.05cm}.$$

Damit gilt für die Länge des LZW–Ausgabestrings:

$$L\hspace{0.05cm}'(N) = K\hspace{0.05cm}'(N) \cdot N = \frac{N}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)}\hspace{0.05cm}.$$

Ergebnisse für $\rm BQ3$

(5) Nach ähnlicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (4) erhält man für die Binärquelle $\rm BQ3$ den Anpassungsparameter $A = 1.36$ und daraus die Ergebnisse gemäß der blau hinterlegten Tabelle.

Hinweis: Die letzte Spalte dieser Tabelle ist nur bei Kenntnis der Teilaufgabe (6) verständlich. Dort wird gezeigt, dass die Quelle $\rm BQ3$ die Entropie $H = 0.25$ bit/Quellensymbol besitzt.

In diesem Fall gilt für den Komprimierungsfaktor:

$$K\hspace{0.05cm}'(N) = \frac{H}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)} = \frac{0.25}{1 - r'(N)} \hspace{0.05cm}.$$

Damit erhält man für die gesuchten Werte der Restredundanz:

$$r\hspace{0.05cm}'(N = 50000)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.289},\hspace{0.3cm}r\hspace{0.05cm}'(N = 10^{6})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.227},\hspace{0.3cm} r\hspace{0.05cm}'(N = 10^{12})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.113}.$$

Für $N = 10^{12}$ weicht also der Komprimierungsfaktor $(0.282)$ noch deutlich von der Entropie $(0.25)$ ab, die erst für $N \to \infty$ erreicht werden kann (Quellencodierungstheorem).

(6) Die einzelnen Näherungen $r\hspace{0.05cm}'(N)$ unterscheiden sich nur durch den Parameter $A$. Dabei haben wir festgestellt:

Quelle $\rm BQ1$ mit $H = 0.50$ ⇒ $A = 1.06$ ⇒ entsprechend dem Angabenblatt,
Quelle $\rm BQ2$ mit $H = 1.00$ ⇒ $A = 0.76$ ⇒ siehe Teilaufgabe (4),
Quelle $\rm BQ3$ $(H$ unbekannt$)$: $A = 4 · 0.34 =1.36$ ⇒ entsprechend der hier angegebenen Tabelle.

Je kleiner die Entropie $H$ ist, um so größer ist offensichtlich der Anpassungsfaktor $A$ (und umgekehrt).
Da genau eine Lösung möglich ist, muss $H = 0.25$ bit/Quellensymbol richtig sein ⇒ Antwort 4.

Tatsächlich wurden bei der Simulation für die Quelle $\rm BQ3$ die Wahrscheinlichkeiten $p_{\rm A} = 0.96$ und $p_{\rm B} = 0.04$ ⇒ $H ≈ 0.25$ verwendet.