Aufgabe 2.7: Huffman-Anwendung für binäre Zweiertupel

Drei Binärcodes für $M = 4$

Die Anwendung des Huffman–Algorithmus in seiner ursprünglichen Form setzt einen Symbolumfang $M > 2$ voraus und ist deshalb zur Datenkomprimierung von Binärquellen unbrauchbar.

Fasst man aber mehrere aufeinanderfolgende Binärzeichen der Nachrichtenquelle zu einem neuen Symbol zusammen, so kann man auf die neue Symbolmenge die Huffman–Datenkomprimierung sinnvoll anwenden.

Wir gehen in dieser Aufgabe von der Symbolmenge $\{$ $\rm X$, $\rm Y$ $\}$ ⇒ aus $(M = 2)$ und bilden gemäß obiger Tabelle Zweiertupel mit dem Symbolvorrat $\{$ $\rm A$, $\rm B$, $\rm C$, $\rm D$ $\}$ ⇒ $(M\hspace{0.03cm}' = M^2 = 4)$.

Beispielsweise wird somit aus der binären Quellensymbolfolge $\rm XYXXYXXXYY$ die quaternäre Folge $\rm BACAD$.

Desweiteren sind in obiger Tabelle drei Codes angegeben, von denen manche durch den Huffman–Algorithmus entstanden sind. Die binären Ausgangsfolgen ergeben sich dann für unser Beispiel wie folgt:

$\text{Code 1}$: 1011011100,
$\text{Code 2}$: 0110011000,
$\text{Code 3}$: 10011001110.

Nochmals zum Verständnis:

Aus der ursprünglichen Symbolmenge $\{$ $\rm X$, $\rm Y$ $\}$ erhält man durch Bildung von Zweiertupeln eine Quaternärmenge mit Symbolvorrat $\{$ $\rm A$, $\rm B$, $\rm C$, $\rm D$ $\}$.
Die Folgenlänge $N$ wird dadurch auf $N\hspace{0.03cm}' = N/2 $ halbiert.
Durch Huffman–Codierung ergibt sich wieder eine Binärfolge, deren Symbolmenge zur besseren Unterscheidung mit $\{$0, 1$\}$ bezeichnet wird.
Die Anwendung der Huffman–Codierung macht genau dann Sinn, wenn die Länge $L$ der Ausgangsfolge (im statistischen Mittel) kleiner ist als $N$.

Mit dieser Aufgabe soll geklärt werden, welche der vorgegebenen Binärcodes bei welchen Randbedingungen sinnvoll sind.

Die binäre Nachrichtenquelle $\{$ $\rm X$, $\rm Y$ $\}$ sei gedächtnislos und wird allein durch die Symbolwahrscheinlichkeit $p_{\rm X}$ beschrieben.
Die zweite Wahrscheinlichkeit ist dann stets $p_{\rm Y} = 1 - p_{\rm X}$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Entropiecodierung nach Huffman.
Insbesondere wird auf die Seite Anwendung der Huffman-Codierung auf $k$-Tupel Bezug genommen.
Die mittlere Codewortlänge pro Zweiertupel ist $L_{\rm M}\hspace{0.03cm}' = p_{\rm A} \cdot L_{\rm A} +$ ... $ + p_{\rm D} \cdot L_{\rm D} \hspace{0.05cm}$. Bezogen auf ein Quellensymbol gilt $L_{\rm M} = L_{\rm M}\hspace{0.03cm}'/2$.
Eine vergleichbare Aufgabenstellung mit ternären Eingangssymbolen wird in der Aufgabe 2.7Z behandelt.

Die Idee zu dieser Aufgabe entstand bei einem Vortrag von Prof. Robert Fischer von der Universität Ulm an der TU München zum Thema „Der goldene Schnitt in der Nachrichtentechnik”.

Fragebogen

$\text{Code 1}$: $L_{\rm M} \ = \ $

$\ \rm bit/Quellensymbol$

$\text{Code 2}$: $L_{\rm M} \ = \ $

$\ \rm bit/Quellensymbol$

$\text{Code 3}$: $L_{\rm M} \ = \ $

$\ \rm bit/Quellensymbol$

	Es ergibt sich $\text{Code 1}$.
	Es ergibt sich $\text{Code 2}$.
	Es ergibt sich $\text{Code 3}$.

$L_{\rm M} \ = \ $

$\ \rm bit/Quellensymbol$

	Es ergibt sich $\text{Code 1}$.
	Es ergibt sich $\text{Code 2}$.
	Es ergibt sich $\text{Code 3}$.

$L_{\rm M} \ = \ $

$\ \rm bit/Quellensymbol$

$p_\text{X, min}\ = \ $

$p_\text{X, max}\ = \ $

Musterlösung

(1) Bei redundanzfreier Binärquelle $(p_{\rm X} = p_{\rm Y} = 0.5)$ erhält man $p_{\rm A} = p_{\rm B} = p_{\rm C} = p_{\rm D} = 0.25$ und mit der angegebenen Gleichung:

$$L_{\rm M} = \big [ \hspace{0.05cm}p_{\rm A} \cdot L_{\rm A} + p_{\rm B} \cdot L_{\rm B} + p_{\rm C} \cdot L_{\rm C} + p_{\rm D} \cdot L_{\rm D} \hspace{0.05cm} \big ] / 2 = \big [ \hspace{0.05cm} L_{\rm A} + L_{\rm B} + L_{\rm C} + L_{\rm D}\hspace{0.05cm} \big ] / 8 \hspace{0.05cm}.$$

Berücksichtigt man die angegebenen Zuordnungen, so erhält man für

$\text{Code 1}$: $L_{\rm M} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.000 \ {\rm bit/Quellensymbol} }$,
$\text{Code 2}$: $L_{\rm M} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.125 \ {\rm bit/Quellensymbol} }$,
$\text{Code 3}$: $L_{\rm M} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.250 \ {\rm bit/Quellensymbol} }$.

Im Verlauf der Aufgabe wird sich zeigen, dass die beiden ersten Codes durchaus als Ergebnis des Huffman–Algorithmus möglich sind (natürlich nur bei geeigneten Symbolwahrscheinlichkeiten). Der $\text{Code 3}$ ist zwar ebenfalls präfixfrei, aber hinsichtlich der mittleren Codewortlänge nie optimal.

(2) Die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Zweiertupel lauten:

$$p_{\rm A} = 0.6^2 = 0.36 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}p_{\rm B}= 0.6 \cdot 0.4 = 0.24 = p_{\rm C} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} p_{\rm D}= 0.4^2 = 0.16 \hspace{0.05cm}.$$

Damit ergibt sich das linke Baumdiagramm (in nebenstehender Grafik) und der folgende Huffman–Code:

Huffman–Baumdiagramm für zwei unterschiedliche Zweiertupel–Konstellationen

$\rm A$ → 11, $\rm B$ → 10, $\rm C$ → 01, $\rm D$ → 00.

Es handelt sich um den $\text{Code 1}$ ⇒ Lösungsvorschlag 1.

(3) Jedes Zweiertupel wird durch zwei Bit dargestellt. Damit ist

$$L_{\rm M} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.000 \ {\rm bit/Quellensymbol} }.$$

(4) Hier lauten die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zweiertupel:

$$p_{\rm A} = 0.8^2 = 0.64 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}p_{\rm B}= 0.8 \cdot 0.2 = 0.16 \hspace{0.05cm}, $$

$$p_{\rm C} = p_{\rm B}= 0.8 = 0.16 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} p_{\rm D}= 0.2^2 = 0.04 \hspace{0.05cm}. $$

Entsprechend dem rechten Baumdiagramm ergibt sich nun der $\text{Code 2}$ ⇒ Lösungsvorschlag 2:

$\rm A$ → 1, $\rm B$ → 01, $\rm C$ → 001, $\rm D$ → 010.

(5) Beim $\text{Code 2}$ gilt für die mittlere Zweiertupellänge bzw. die mittlere Codewortlänge:

$$L_{\rm M}\hspace{0.01cm}' = 0.64 \cdot 1 + 0.16 \cdot 2 + (0.16 + 0.04) \cdot 3 = 1.56\,{\rm bit/Zweiertupel}\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}L_{\rm M} = {L_{\rm M}\hspace{0.01cm}'}/{2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.78\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}.$$

(6) Aus den früheren Teilaufgaben hat sich ergeben:

Für $p_{\rm X} = 0.6$ ist der $\text{Code 1}$ optimal und die mittlere Codewortlänge dieses Codes ist $($unabhängig von $p_{\rm X})$ $L_{\rm M} = 1$ bit/Quellensymbol.
Für $p_{\rm X} = 0.8$ entsprechend der Teilaufgabe (4) ist der $\text{Code 2}$ optimal und die mittlere Codewortlänge beträgt $L_{\rm M} = 0.78$ bit/Quellensymbol.

Der gesuchte Maximalwert $p_\text{X, max}$ wird somit zwischen $0.6$ und $0.8$ liegen. Die Bestimmungsgleichung ist dabei, dass für den Grenzfall $p_\text{X} = p_\text{X, max}$ beide Codes genau die gleiche mittlere Codewortlänge $L_{\rm M} = 1$ bit/Quellensymbol besitzen, bzw. $L_{\rm M}\hspace{0.03cm}' = 2$ bit/Zweiertupel.

Mit der Abkürzung $p = p_\text{X, max}$ lautet die entsprechende Bestimmungsgleichung:

$$L_{\rm M}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.15cm}{\rm (Code \hspace{0.15cm}2)} = p^2 \cdot 1 + p \cdot (1-p) \cdot 2 + p \cdot (1-p) \cdot 3 + (1-p)^2 \cdot 3 \stackrel{!}{=} 2 \hspace{0.05cm}.$$

Dies führt zum zahlenmäßigen Ergebnis:

$$p^2 + p - 1 \stackrel{!}{=} 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} p_{\rm X,\hspace{0.05cm}max} = p = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.618} \hspace{0.05cm}.$$

Da sich die grundsätzliche Huffman–Struktur durch Vertauschen von $\rm X$ und $\rm Y$ nicht ändert, gilt für die untere Grenze:

$$p_{\rm X,\hspace{0.05cm}min} = 1 - p_{\rm X,\hspace{0.05cm}max}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.382} \hspace{0.05cm}.$$

Die Darstellung der Zweiertupel durch unterschiedlich lange Bitfolgen $\text{(Code 2)}$ macht also nur Sinn, wenn sich die Symbolwahrscheinlichkeiten von $\rm X$ und $\rm Y$ signifikant unterscheiden. Liegen diese dagegen zwischen $0.382$ und $0.618$, so ist der $\text{Code 1}$ anzuwenden.

Die Aufteilung einer Strecke der Länge $1$ in zwei Abschnitte der Länge $0.618$... und $0.382$... bezeichnet man als Goldenen Schnitt, auf den man in den verschiedensten Fachgebieten immer wieder stößt.