Aufgabe 2.9: Symmetrische Verzerrungen

Sende– und Empfangsspektrum im äquivalenten Tiefpass-Bereich

Das aus zwei Anteilen zusammengesetzte Quellensignal

$$q(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$

wird amplitudenmoduliert und über einen linear verzerrenden Übertragungskanal übertragen.

Die Trägerfrequenz ist $f_{\rm T}$ und der zugesetzte Gleichanteil $A_{\rm T}$.
Es liegt also eine "Zweiseitenband-Amplitudenmoduluation $\rm (ZSB–AM)$ mit Träger" vor.

Die obere Grafik zeigt das Spektrum $S_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP–Signals in schematischer Form. Das bedeutet, dass die Längen der gezeichneten Diraclinien nicht den tatsächlichen Werten von $A_{\rm T}$, $A_1/2$ und $A_2/2$ entsprechen.

Messtechnisch erfasst wurde die Spektralfunktion $R(f)$ des Empfangssignals. In der unteren Grafik sehen Sie das daraus berechnete äquivalente Tiefpass–Spektrum $R_{\rm TP}(f)$.

Der Kanalfrequenzgang ist durch einige Stützwerte ausreichend genau beschrieben:

$$ H_{\rm K}(f = f_{\rm T}) = 0.5,$$

$$H_{\rm K}(f = f_{\rm T} \pm f_1) = 0.4,$$

$$ H_{\rm K}(f = f_{\rm T} \pm f_2) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Hüllkurvendemodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf das Kapitel Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals.

Fragebogen

$A_{\rm T} \ = \hspace{0.17cm} $

$\ \rm V$

$A_1 \ = \ $

$\ \rm V$

$A_2 \ = \ $

$\ \rm V$

	Keine Verzerrungen.
	Lineare Verzerrungen.
	Nichtlineare Verzerrungen.

	$r_{\rm TP}(t)$ stets reell ist,
	$r_{\rm TP}(t)$ stets größer oder gleich Null ist,
	die Phasenfunktion $ϕ(t)$ die Werte $0^\circ$ und $180^\circ$ annehmen kann?

	Keine Verzerrungen.
	Lineare Verzerrungen.
	Nichtlineare Verzerrungen.

Musterlösung

(1) Anhand der Grafiken auf der Angabenseite sind folgende Aussagen möglich:

$${A_{\rm T}} \cdot 0.5 = 2 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}},$$

$${A_{\rm 1}}/{2} \cdot 0.4 = 0.6\,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm 1} \hspace{0.15cm}\underline {= 3 \,{\rm V}},$$

$${A_{\rm 2}}/{2} \cdot 0.2 = 0.4\,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

Der Modulationsgrad ergibt sich zu $m = (A_1 + A_2)/A_T = 1.75$.
Damit ergeben sich bei Verwendung eines Hüllkurvendemodulators starke nichtlineare Verzerrungen.
Ein Klirrfaktor kann aber nicht angegeben werden, da das Quellensignal zwei Frequenzanteile beinhaltet.

(3) Richtig sind die Aussagen 1 und 2:

Die Fourierrücktransformation von $R_{\rm TP}(f)$ führt zum Ergebnis:

$$ r_{\rm TP}(t) = 2 \,{\rm V} + 1.2 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.8 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )\hspace{0.05cm}.$$

Diese Funktion ist stets reell und nicht–negativ.
Damit gilt gleichzeitig $ϕ(t) = 0$. Dagegen ist $ϕ(t) = 180^\circ$ nicht möglich.

(4) Ein Vergleich der beiden Signale

$$q(t) = 3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t ),$$

$$ v(t) = 0.4 \cdot 3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.2 \cdot 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$

zeigt, dass nun lineare Verzerrungen – genauer gesagt: Dämpfungsverzerrungen – auftreten ⇒ Lösungsvorschlag 2.

Der Kanal $H_{\rm K}(f)$ hat hier den positiven Effekt, dass anstelle von irreversiblen nichtlinearen Verzerrungen nun lineare Verzerrungen entstehen, die durch ein nachgeschaltetes Filter eliminiert werden können.
Dies ist darauf zurückzuführen, dass durch die stärkere Dämpfung des Quellensignals $q(t)$ im Vergleich zum Trägersignal $z(t)$ der Modulationsgrad herabgesetzt wird von $m = 1.75$ auf

$$m = (0.4 · 3 \ \rm V + 0.2 · 4 \ \rm V)/(0.5 · 4 \ \rm V) = 1.$$