Aufgabe 3.4: Trapezspektrum bzw. -impuls
Wir betrachten hier eine trapezförmige Spektralfunktion $X(f)$ gemäß der oberen Grafik, die durch die drei Parameter $X_0$, $f_1$ und $f_2$ vollständig beschrieben wird. Für die Eckfrequenzen gelte $f_2 > 0$ und $0 \geq f_1 \geq f_2$. Anstelle der Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ können auch die beiden folgenden Beschreibungsgrößen verwendet werden:
- die äquivalente Bandbreite:
$$\Delta f = f_1 + f_2,$$
- der so genannte Rolloff-Faktor (im Frequenzbereich):
$$r_f = \frac[[:Vorlage:F 2 - f 1]][[:Vorlage:F 2 + f 1]].$$
Mit diesen Größen lautet die dazugehörige Zeitfunktion (siehe Grafik in der Mitte):
$$x( t ) = X_0 \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm \pi} \cdot \Delta f \cdot t} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm \pi} \cdot r_f \cdot \Delta f\cdot t} ).$$
Hierbei ist $\text{si}(x) = \text{sin}(x)/x$ die so genannte Spaltfunktion. In diesem Beispiel sollen die Zahlenwerte $X_0 = 10^{–3}$ V/Hz, $f_1 = 1$ kHz und $f_2 = 3$ kHz verwendet werden. Die Zeit $T = 1/\Delta f$ dient lediglich zu Normierungszwecken.
Ab Aufgabe 3) wird ein trapezförmiges Signal $y(t)$ betrachtet, das formgleich mit dem Spektrum $X(f)$ ist. Als Beschreibungsgrößen können hier verwendet werden: die Impulsamplitude $y_0 = y(t = 0)$, die äquivalente Impulsdauer (definiert über das flächengleiche Rechteck):
$$\Delta t = t_1 + t_2,$$
der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich):
$$r_t = \frac[[:Vorlage:T 2 - t 1]][[:Vorlage:T 2 + t 1]].$$
Es gelte $y_0 = 4$ V, $\Delta t = 1$ ms und $r_t = 0.5$.
Hinweis: Diese Aufgabe soll unter Verwendung von Vertauschungssatz und Ähnlichkeitssatz gelöst werden. Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier Interaktionsmodule überprüfen:
- Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion
- Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort
Fragebogen
Musterlösung
Für den Rolloff-Faktor gilt:
2. Der Maximalwert des Impulses $x(t)$ tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf: $x_0 = X_0 \cdot \Delta f = 4$ V. Zum Zeitpunkt $t = T = 1/\Delta f$ gilt aufgrund von $\text{si}(\pi) = 0$:
Auch bei allen Vielfachen von $T$ weist $x(t)$ Nulldurchgänge auf. Zum Zeitpunkt $t = T/2$ gilt:
3. Die zum trapezförmigen Spektrum $X(f)$ zugehörige Zeitfunktion lautet (siehe Angabe):
Da sowohl $X(f)$ als auch $x(t)$ reell sind und $y(t)$ formgleich mit $X(f)$ ist, erhält man unter Berücksichtigung aller Äquivalenzen für die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
Insbesondere gilt:
4. Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ wird nicht verändert: $Y_0 = y_0 \cdot \Delta t = 4 \cdot 10^{–3}$ V/Hz. Da nun die Zeitfunktion nur halb so breit ist, verbreitert sich das Spektrum um den Faktor 2:
In der Teilaufgabe 3) ist dieser Spektralwert bei der Frequenz $f = 0.5$ kHz aufgetreten.
