Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion

Betrachtetes Systemmodell

Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort $h(t)$, an dessen Eingang das Signal $x(t)$ anliegt. Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich dann als das Faltungsprodukt $x(t) ∗ h(t)$.

Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Beschreibung des Spektralverhaltens stets das erste Fourierintegral angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum: $$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$ Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale, also unter der Voraussetzung $$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}$$ weiterhin Gültigkeit. In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:

Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar. Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten.
Die Laplace–Transformierte $X_L(p)$ ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen $p$. Dass sich diese Variable entsprechend $p = j · 2πf$ aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz $ω = 2πf$ mit der imaginären Einheit j ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.
Die implizite Bedingung $x(t) =$ 0 für $t$ < 0 erlaubt speziell die Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen in einfacherer Weise als mit dem Fourierintegral.

Definition der Laplace–Transformation

Ausgehend vom ersten Fourierintegral $$X(f) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t$$ ergibt sich bei einer kausalen Zeitfunktion (wenn also gilt: $x(t) =$ 0 für $t$ < 0) mit der formalen Substitution $p = j · 2πf$ direkt die Laplace–Transformation.

Die Laplace–Transformierte einer kausalen Zeitfunktion $x(t)$ lautet: $$X_{\rm L}(p) = \int\limits_{0}^{\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm} X_{\rm L}(p) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad x(t)\hspace{0.05cm}$$ .

Der Zusammenhang zwischen der Laplace–Transformierten $X_L(p)$ und dem physikalischen Spektrum $X(f)$ ist häufig wie folgt gegeben: $$X(f) = X_{\rm L}(p)}\Bigg|_{{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j\hspace{0.05cm}2\pi \it f}}.$$ Beinhaltet allerdings das Signal $x(t)$ periodische Anteile und damit die Spektralfunktion $X(f)$ zusätzliche Diracfunktionen, so ist diese Gleichung nicht anwendbar. In diesem Fall muss $p = α + j · 2πf$ angesetzt werden und es ist dann der Grenzübergang $α → 0$ zu bilden.

Wir gehen von der einseitig exponentiell abfallenden Zeitfunktion – Skizze – aus: $$x(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 0.5 \\ {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0\hspace{0.05cm},} \\ { t = 0\hspace{0.05cm},} \\{ t > 0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$ Damit lautet die Laplace–Transformierte: $$X_{\rm L}(p) = \int\limits_{0}^{\infty} { {\rm e}^{-t/T}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t= \frac {1}{p + 1/T} \cdot {{\rm e}^{-(p+1/T) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}}\hspace{0.05cm}\Bigg |_{t \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0}^{\infty}= \frac {1}{p + 1/T} \hspace{0.05cm} .$$ Mit $p = j · 2πf$ erhält man die herkömmliche Spektralfunktion bezüglich $f$: $$X(f) = \frac {1}{{\rm j \cdot 2\pi \it f} + 1/T} = \frac {T}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$ Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort $h(t)$ sich gegenüber der obigen Zeitfunktion um den Faktor $1/T$ unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte: $$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.4cm}H(f) = \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$ Häufig verwendet man dann anstelle des Parameters $T$ die 3dB–Grenzfrequenz $f_G = 1/(2πT)$.

Einige wichtige Laplace–Korrespondenzen

Unten sind einige wichtige Laplace–Korrespondenzen zusammengestellt. Die Laplace–Transformierte der Diracfunktion $δ(t)$ ist $X_L(p) =$ 1 (Diagramm A). Durch Anwendung des Integrationssatzes erhält man für die Sprungfunktion $X_L(p) = 1/p$ (Diagramm B) und aus dieser durch Multiplikation mit $1/(pT)$ die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion $x(t) = t/T$ für $t$ > 0 (Diagramm C).

Die Rechteckfunktion kann aus der Subtraktion zweier um $T$ auseinanderliegender Sprungfunktionen $γ(t)$ und $γ(t – T)$ erzeugt werden, so dass sich nach dem Verschiebungssatz die Laplace–Transformierte $X_L(p) = (1 – e^{–pT})/p$ ergibt (Diagramm D). Durch Integration erhält man daraus die Rampenfunktion bzw. nach Multiplikation mit $1/(pT)$ deren Laplace–Transformierte (Diagramm E).

Die Exponentialfunktion (Diagramm F) wurde bereits auf der letzten Seite betrachtet. Mit dem Faktor $1/T$ beschreibt diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung. Durch Quadrierung erhält man die $p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses zweiter Ordnung. Die zugehörige Zeitfunktion lautet $x(t) = t/T · e^{–t/T}$ (Diagramm G).

Neben der kausalen si–Funktion (Diagramm H) sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion (Diagramme I und J) angegeben, die sich zu $p/(p_2 + ω_0^2) bzw. ω_0/(p^2 + ω_0^2)$ ergeben. Hierbei bezeichnet $ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$ die so genannte Kreisfrequenz.

Alle hier betrachteten Zeitsignale $x(t)$ sind dimensionslos angenommen. Aus diesem Grund besitzt $X_L(p)$ als das Integral über die Zeit stets die Einheit „Sekunde”.