Erwartungswerte und Momente
Berechnung als Scharmittelwert
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) bietet ebenso wie die Verteilungsfunktion (VTF) sehr weitreichende Informationen über die betrachtete Zufallsgröße. Weniger Informationen liefern die so genannten Erwartungswerte und Momente.
Für diskrete Zufallsgrößen wurden deren Berechnungsmöglichkeiten bereits in Kapitel 2.2 angegeben. Nun werden diese integrativen Beschreibungsgrößen Erwartungswert bzw. Moment allgemeiner und im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion betrachtet.
Der Erwartungswert bezüglich einer beliebigen Gewichtungsfunktion $g(x)$ kann mit der WDF $f_{\rm x}(x)$ in folgender Weise berechnet werden: $$\rm E[\it g(x)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\cdot f_{\rm x}(x) \,{\rm d}x.$$ Setzt man in diese Gleichung für $g(x) = x^k$ ein, so erhält man das Moment $k$-ter Ordnung: $$m_k = \rm E[\it x^k] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k\cdot f_{\rm x}(x) \, {\rm d}x.$$
Aus dieser Gleichung folgt
- mit $k =$ 1 für den linearen Mittelwert:
$$m_1 = \rm E[\it x] = \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_{\rm x}(x) \,{\rm d}x,$$
- mit $k =$ 2 für den quadratischen Mittelwert:
$$m_2 = \rm E[\it x^{\rm 2}] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^{\rm 2}\cdot f_{\rm x}(x) \,{\rm d}x.$$
Bei einer diskreten, $M$-stufigen Zufallsgröße erhält man auch mit den hier angegebenen Formeln wieder die bereits in Kapitel 2.2 angegebenen Gleichungen (Berechnung als Scharmittelwert):
$$m_1 = \sum\limits_{\mu= \rm1}^{\it M}\hspace{0.15cm}p_\mu\cdot x_\mu,\hspace{0.5cm}
m_2 = \sum\limits_{\mu= \rm1}^{\it M}\hspace{0.15cm}p_\mu\cdot x_\mu^2.$$
Hierbei ist berücksichtigt, dass das Integral über die Diracfunktion $δ(x)$ gleich 1 ist.
In Zusammenhang mit Signalen sind auch folgende Bezeichnungen üblich:
- $m_1$ gibt den Gleichanteil an,
- $m_2$ entspricht der (auf den Einheitswiderstand 1 Ω bezogenen) Signalleistung.
Bezeichnet $x$ beispielsweise eine Spannung, so hat $m_1$ die Einheit $„{\rm V}”$ und $m_2$ die Einheit $„{\rm V}^2”.$ Will man die Leistung in „Watt”, so muss $m_2$ noch durch den Widerstandswert dividiert werden.
Zentralmomente
Eine besonders große Bedeutung haben in der Statistik die Zentralmomente, die im Gegensatz zu den herkömmlichen Momenten jeweils auf den Mittelwert $m_1$ bezogen sind: $$\mu_k = \rm E[\it (x-m_{\rm 1})^k] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-m_{\rm 1})^k\cdot f_{\rm x}(x) \,\rm d \it x.$$ Die nichtzentrierten Momente $m_k$ kann man direkt in die zentrierten Momente $\mu_k$ umrechnen: $$\mu_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot m_\kappa \cdot (-m_1)^{k-\kappa}.$$
Nach den allgemein gültigen Gleichungen der letzten Seite ergeben sich die formalen Größen $m_0 =$ 1 und $\mu_0 =$ 1. Für das Zentralmoment erster Ordnung gilt nach obiger Definition stets $\mu_1 =$ 0.
In der Gegenrichtung gelten folgende Gleichungen für $k =$ 1, $k =$ 2, usw.: $$m_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot \mu_\kappa \cdot {m_1}^{k-\kappa}.$$
Bei einer binären Zufallsgröße mit den Wahrscheinlichkeiten
- Pr(0) = 1 – $p$, und
- Pr(1) = $p$
haben alle Momente den genau gleichen Wert $p$:
$$m_1 = m_2 = m_3 = m_4 = ... \hspace{0.05cm}= p.$$
Mit den obigen Gleichungen erhält man dann für die ersten drei Zentralmomente:
$$\begin{align*} \mu_2 & = m_2 - m_1^2 = p -p^2, \\ \mu_3 & = m_3 - 3 \cdot m_2 \cdot m_1 + 2 \cdot m_1^3 = p - 3 \cdot p^2 + 2 \cdot p^3, \\ \mu_4 & = m_4 - 4 \cdot m_3 \cdot m_1 + 6 \cdot m_2 \cdot m_1^2 - 3 \cdot m_1^4 = p - 4 \cdot p^2 + 6 \cdot p^3- 3 \cdot p^4. \end{align*}$$
