Weitere Verteilungen

Rayleighverteilung

Diese Verteilung spielt für die Beschreibung zeitvarianter Kanäle – wie sie beispielweise im Mobilfunk vorliegen – eine zentrale Rolle. So weist nichtfrequenzselektives Fading eine solche Verteilung auf, wenn zwischen der festen Basisstation und dem mobilen Teilnehmer keine Sichtverbindung besteht.

Die Rayleighverteilung besitzt folgende charakteristische Eigenschaften:

Eine rayleighverteilte Zufallsgröße $x$ kann keine negativen Werte annehmen und der theoretisch mögliche Wert $x =$ 0 tritt auch nur mit der Wahrscheinlichkeit 0 auf.
Für $x$ ≥ 0 hat die WDF mit dem Verteilungsparameter $λ$ den folgenden Verlauf:

$$f_{\rm x}(x)=\frac{x}{\lambda^2}\cdot\rm e^{-{\it x^{\rm 2}} /{(\rm 2 \it \lambda^{\rm 2})}}.$$

Das $k$-te Moment einer rayleighverteilten Zufallsgröße $x$ ergibt sich allgemein zu

$$m_k=(2\cdot \lambda^{\rm 2})^{\it k/\rm 2}\cdot {\rm \Gamma}( 1+ \frac{\it k}{\rm 2}) \hspace{0.3cm}{\rm mit }\hspace{0.3cm}{\rm \Gamma}(x)= \int_{0}^{\infty} t^{x-1} \cdot {\rm e}^{-t} \hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$

Daraus lassen sich Mittelwert und Streuung folgendermaßen berechnen:

$$m_1=\sqrt{2}\cdot \lambda\cdot {\rm \Gamma}(1.5) = \sqrt{2}\cdot \lambda\cdot {\sqrt{\pi}}/{2} =\lambda\cdot\sqrt{{\pi}/{2}},$$ $$m_2=2 \lambda^2 \cdot {\rm \Gamma}(2) = 2 \lambda^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma = \sqrt{m_2 - m_1^2} =\lambda\cdot\sqrt{2-{\pi}/{2}}.$$

Zur Modellierung einer rayleighverteilten Zufallsgröße $x$ verwendet man zum Beispiel zwei gaußverteilte, mittelwertfreie und statistisch unabhängige Zufallsgrößen $u$ und $υ$, die beide die Streuung $σ = λ$ aufweisen. Die Größen $u$ und $υ$ werden dann wie folgt verknüpft:

$$x=\sqrt{u^2+\upsilon^2}.$$

Die Grafik zeigt den Zeitverlauf $x(t)$ einer rayleighverteilten Zufallsgröße sowie die zugehörige Dichtefunktion $f_{\rm x}(x)$. Man erkennt aus dieser Darstellung:

Die Rayleigh-WDF ist stets unsymmetrisch.
Der Mittelwert $m_1$ liegt etwa 25% oberhalb des WDF-Maximums, das bei $x = λ$ auftritt.

Riceverteilung

Auch diese Verteilung spielt für die Beschreibung zeitvarianter Kanäle eine wichtige Rolle, unter Anderem auch deshalb, weil nichtfrequenzselektives Fading dann riceverteilt ist, wenn zwischen der Basisstation und dem Mobilteilnehmer eine Sichtverbindung besteht.

Für die Riceverteilung gelten folgende Aussagen:

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunkion hat für $x$ > 0 den nachfolgend angegebenen Verlauf, wobei $I_0$( ... ) die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung bezeichnet:

$$f_x(x)=\frac{x}{\lambda^2}\cdot{\rm e}^{-({C^2+\it x^{\rm 2}})/ ({\rm 2 \it \lambda^{\rm 2}})}\cdot {\rm I_0}(\frac{\it x\cdot C}{\lambda^{\rm 2}}) \hspace{0.4cm}{\rm mit} \hspace{0.4cm} {\rm I_0}(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x/2)^{2k}}{k! \cdot {\rm \Gamma (k+1)}}.$$

Der gegenüber der Rayleighverteilung zusätzliche Parameter $C$ ist ein Maß für die „Stärke” der Direktkomponente. Je größer der Quotient $C/λ$ ist, desto mehr nähert sich der Ricekanal dem Gauß-Kanal an. Für $C =$ 0 geht die Riceverteilung in die Rayleighverteilung über.
Bei der Riceverteilung ist der Ausdruck für das Moment $m_k$ deutlich komplizierter und nur mit Hilfe hypergeometrischer Funktionen angebbar. Ist jedoch $λ$ sehr viel kleiner als $C$, so gilt $m_1 ≈ C$ und $σ ≈ λ$. Unter diesen Voraussetzungen kann die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert $C$ und Streuung $λ$ angenähert werden.
Zur Modellierung einer riceverteilten Zufallsgröße $x$ verwenden wir ein ähnliches Modell wie für die Rayleighverteilung, nur muss nun zumindest eine der beiden gaußverteilten und statistisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen $(u$ und/oder $υ$) einen Mittelwert ungleich 0 aufweisen.

Die Grafik zeigt den zeitlichen Verlauf einer riceverteilten Zufallsgröße $x$ sowie deren Dichtefunktion $f_{\rm x}(x)$, wobei $C/λ =$ 2 gilt. Der Mittelwert $m_1$ ist hier etwas größer als $C$.

Etwas salopp ausgedrückt: Die Riceverteilung ist ein Kompromiss zwischen der Rayleigh- und der Gaußverteilung.

Mit dem folgenden Berechnungstool können Sie sich unter Anderem die Kenngrößen (WDF, VTF, Momente) der Rayleigh- und der Riceverteilung anzeigen lassen: WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen