Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen
Korrelationsmatrix
Bisher wurden nur statistische Bindungen zwischen zwei (skalaren) Zufallsgrößen betrachtet. Für den allgemeineren Fall – einer Zufallsgröße mit $N$ Dimensionen – bietet sich zweckmäßiger Weise eine Vektor- bzw. Matrixdarstellung an. Für die folgende Beschreibung wird vorausgesetzt:
- Die $N$–dimensionale Zufallsgröße wird als Vektor dargestellt:
$${\mathbf{x}} = [\hspace{0.03cm}x_1, \hspace{0.03cm}x_2, \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}, \hspace{0.03cm}x_N]^{\rm T}.$$ Hierbei ist $\mathbf{x}$ ein Spaltenvektor, was aus dem Zusatz „T” – dies steht für „transponiert” – des angegebenen Zeilenvektors hervorgeht.
- Die $N$ Komponenten $x_i$ seien jeweils eindimensionale reelle Gaußsche Zufallsgrößen.
Statistische Bindungen zwischen den $N$ Zufallsgrößen werden durch die Korrelationsmatrix vollständig beschrieben:
$${\mathbf{R}} =\left[ R_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{cccc}R_{11} & R_{12} & \cdots & R_{1N} \\ R_{21} & R_{22}& \cdots & R_{2N} \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ R_{N1} & R_{N2} & \cdots & R_{NN} \end{array} \right] .$$
Die $N^2$ Elemente dieser $N×N$-Matrix geben jeweils das gemeinsame Moment erster Ordnung zwischen zwei Komponenten an:
$$R_{ij}= {{\rm E}[x_i \cdot x_j ]} = R_{ji} .$$
In Vektorschreibweise lautet somit die Korrelationsmatrix:
$$\mathbf{R}= {\rm E[\mathbf{x} \cdot {\mathbf{x}}^{\rm T} ]} .$$
Da $\mathbf{x}$ ein Spaltenvektor mit $N$ Dimensionen ist und somit der transponierte Vektor $\mathbf{x}^{\rm T}$ ein Zeilenvektor gleicher Länge, ergibt das Produkt $\mathbf{x} · \mathbf{x}^{\rm T}$ eine $N×N$-Matrix. Dagegen wäre $\mathbf{x}^{\rm T}· \mathbf{x}$ eine 1×1-Matrix, also ein Skalar. Für den hier nicht weiter betrachteten Sonderfall komplexer Komponenten $x_i$ sind auch die Matrixelemente komplex:
$$R_{ij}= {{\rm E}[x_i \cdot x_j^{\star} ]} = R_{ji}^{\star} .$$
Die Realteile der Korrelationsmatrix sind weiterhin symmetrisch zur Hauptdiagonalen, während sich die dazugehörigen Imaginärteile durch das Vorzeichen unterscheiden.
