Fehlerwahrscheinlichkeit der PN–Modulation

1. Modulationsverfahren
2. Vielfachzugriffsverfahren
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Das CDMA–System IS–95

Die Eigenschaften der PN–Modulation sollen nun am Beispiel des amerikanischen Mobilfunkstandards IS–95, der sich aus den Arbeiten der Fa. Qualcomm Inc. und insbesondere von Andrew J. Viterbi ergeben hat, quantitativ angegeben werden. In etwas vereinfachter Darstellung – ohne Faltungscodierer, Interleaver und De–Interleaver sowie dem Viterbi–Decoder beim Empfänger – ergibt sich das folgende Blockschaltbild.

Es gelten folgende Aussagen:

• Das Spreizsignal $c(t)$ bewirkt eine Bandspreizung um den Spreizfaktor $J$, wobei auf den nächsten Seiten sowohl Walsh–Funktionen als auch M–Sequenzen betrachtet werden. Die Bandstauchung beim Empfänger benutzt phasensynchron die gleiche Spreizfolge.
• Das zusätzliche ±1–Signal $w(t)$ ermöglicht eine zusätzliche Verwürfelung, bewirkt jedoch keine weitere Bandspreizung. Die Rechteckdauer von $w(t)$ ist genau so groß wie die Rechteckdauer von $c(t)$. Man nennt $T_c$ die Chipdauer.
• Ohne Bandspreizung und Verwürfelung (bzw. mit $J =$ 1) entspricht die Übertragungskette der BPSK–Modulation. Das Matched–Filter ist durch die Variante Integrate & Dump realisiert, so dass es sich um ein optimales System handelt.
• Mit $H_{\rm K}(f) =$ 1 ergibt sich das AWGN–Kanalmodell mit dem gaußverteilten Rauschsignal $n(t)$ und der AWGN–Kenngröße $E_{\rm B}/N_0$. Die zusätzliche Störkomponente $i(t)$ fasst die Interferenzen der anderen Teilnehmer zusammen.
• Bei einem Mehrwegekanal (ein Hauptpfad und ein oder mehrere Nebenpfade) können die entstehenden Impulsinterferenzen durch den Einsatz eines RAKE–Empfängers vermindert werden. Hierauf wird erst am Ende dieses Kapitels näher eingegangen.

Alle nachfolgenden Ergebnisse wurden mit dem Simulationsprogramm „CDMA” ermittelt. Dieses wird an der TU München im Praktikum „Simulation digitaler Übertragungssysteme” [Söd01] eingesetzt.

Download des Programms CDMA (ZIP–Version)

Download der Versuchsanleitung zu CDMA (PDF–Version)

Systemkonfigurationen mit minimaler Fehlerwahrscheinlichkeit

Die nachfolgende Grafik zeigt als durchgezogene blaue Kurve die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei BPSK in Abhängigkeit des logarithmierten AWGN–Parameters $E_{\rm B}/N_0$ (Signalenergie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte). Es gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion $Q(x)$: $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\hspace{0.05cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Beispielsweise ergibt sich für 10 · lg $(E_{\rm B}/N_0) =$ 8 dB näherungsweise $p_{\rm B} = \rm 2 · 10^{–4}$.

Den gleichen minimalen Wert liefert eine Simulation (rote Punkte) unter folgenden Bedingungen:

• die PN–Modulation, egal ob mit einer M–Sequenz oder mit einer Walsh–Funktion, bei beliebigem Spreizgrad $J$, falls nur ein Teilnehmer aktiv ist,
• der synchrone CDMA–Betrieb mit Walsh–Funktionen, auch wenn im gleichen Frequenzband andere Nutzer (maximal $J$ –1) aktiv sind,
• in beiden Fällen nur zutreffend beim AWGN–Kanal. Da hier keine Impulsinterferenzen auftreten, kann auch auf den RAKE–Empfänger verzichtet werden.

Zwei Teilnehmer mit M–Sequenz–Spreizung

Wir betrachten den störenden Einfluss eines zweiten Teilnehmers auf die Fehlerwahrscheinlichkeit von Teilnehmer 1. Die Spreizung erfolgt mittels M–Sequenzen, die im Gegensatz zu den Walsh–Funktionen nicht zueinander orthogonal sind. Weiter gilt: Spreizfaktor $J =$ 15, Oktalkennungen (23) und (31).

• Bei nur einem Teilnehmer ergibt sich die blaue durchgezogene Kurve. Der zweite (taktsynchrone) Teilnehmer erhöht die Fehlerwahrscheinlichkeit gravierend, zum Beispiel für 10 · lg $E_{\rm B}/N_0 =$ 8 dB von $p_{\rm B} =$ 0.02% auf $p_{\rm B} =$1.5% (braune Markierungen, $τ =$ 0).
• Durch einen Phasenversatz der PN–Sequenzen gegeneinander um Vielfache der Chipdauer kann man beträchtliche Verbesserungen erzielen. Verschiebt man beispielsweise die PN–Sequenz (31) des interferierenden Teilnehmers um $τ = 2T_c$ nach rechts (rote Markierungen), so erhält man statt 1.5% Fehler nur mehr die Fehlerwahrscheinlichkeit 0.034%.
• Die Ergebnisse werden verständlich, wenn man die PKKF $φ_{23,31}(λT_c)$ zwischen den Sequenzen (23) und (31) betrachtet. Je kleiner der PKKF–Betrag ist, desto kleiner wird $p_{\rm B}$. Man könnte also auch die zweite PN–Sequenz um 6 oder 8 Chipdauern nach rechts oder um 5, 6 oder 7 nach links verschieben. In all diesen Fällen ist der PKKF–Betrag minimal gleich 1/15 (rote Punkte) im Vergleich zu $φ_{23, 31}(0) =$ 7/15, $φ_{23, 31}(T_c) =$ 3/15, $|φ_{23, 31}(3 T_c)| =$ 5/15.