Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung
Z1.1 Tiefpass 1. und 2. Ordnung
Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend der Aufgabe A1.1 – hat den folgenden Frequenzgang: $$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$ Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. Der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ und der Phasenverlauf $b_1(f)$ dieses Filters sind in der Grafik dargestellt.
Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung: $$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$ In dieser Aufgabe sollen – ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung – der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines solchen Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden. Allgemein gilt: $$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\cdot b(f)}.$$
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 1.1. Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:
$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln
(10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten:
$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
Fragebogen
Musterlösung
- a) Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:
$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
- Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper:
$$\begin{align*}a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} & = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \\ \Rightarrow a_1(f = f_0) & = 0.34657 \hspace{0.05 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.804719 \hspace{0.05 cm}{\rm Np}.\end{align*}$$
- Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit 1/0.115 = 8.68589 und führt zu den Ergebnissen $\rm \underline{3.01 \: dB ≈ 3 \: dB} \: (f = f_0)$ und $\rm \underline{6.99 \: dB} \: (f = 2f_0)$. Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_0$.
- b) Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:
$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
- Damit ergibt sich für den Phasengang:
$$b_1(f) = - \arctan \frac{ {\rm Im} }{ {\rm Re} } = \arctan \frac{f}{f_0}.$$
- Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.
- c) Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt:
$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$
- Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe:
$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]$$
- und speziell für den Tiefpass zweiter Ordnung:
$$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$
- Die dB–Werte lauten nun $\rm \underline{6.02 dB ≈ 6 dB} (f = ±f_0)$ und $\rm \underline{13.98 dB}$ (für $f = ±2f_0$). Damit ist offensichtlich, dass für $n$ > 1 der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz angibt. Vielmehr gilt für $n = 2: {f_{\rm G} }^2 = {f_0}^2/2$.
- d) Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:
$$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$
- Bei einem Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist $b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{= 1.571 rad}$ und $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 rad$. Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.
