Aufgabe 1.5: Idealer rechteckförmiger Tiefpass
Wir betrachten einen idealen, rechteckförmigen Tiefpass – manchmal auch Küpfmüller–Tiefpass genannt, der
- alle Frequenzen $f <$ 5 kHz unverfälscht durchlässt ⇒ $H(f) = 1$,
- alle Spektralanteile über 5 kHz vollständig unterdrückt ⇒ $H(f) = 0$.
Exakt bei der Grenzfrequenz $f_{\rm G} =$ 5 kHz ist der Wert der Übertragungsfunktion gleich 1/2.
An den Eingang des Tiefpasses werden verschiedene Signale angelegt:
- ein schmaler Rechteckimpuls geeigneter Höhe, der durch einen Diracimpuls angenähert werden kann:
$$x_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot {\rm \delta}(t),$$
- ein Diracpuls im Zeitabstand $T_{\rm A}$:
$$x_2(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(t - \nu \cdot T_{\rm A}),$$
- wobei das zugehörige Spektrum mit $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ lautet:
$$X_2(f) = \frac{10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs}}{T_{\rm A}} \cdot\sum_{\mu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(f - \mu \cdot f_{\rm A}),$$
- eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt $t = 0$:
$$x_3(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \gamma(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0,} \\{ t = 0,} \\ { t > 0,} \\ \end{array}$$
- ein si–förmiger Impuls mit der äquivalenten Dauer $T$:
$$x_4(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T}) .$$
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die Beschreibungen von Kapitel 1.3. In der Tabelle sind die Funktionswerte der Spaltfunktion ${\rm si}(πx)$ und der Integralsinusfunktion ${\rm Si}(πx)$ aufgelistet:
$${\rm Si}(\pi x) = \int_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \pi \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi .$$
Fragebogen
Musterlösung
