Aufgabe 1.6: Rechteckförmige Impulsantwort

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Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation. Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt. Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von –1 ms bis 1 ms konstant gleich $k$ und außerhalb 0; an den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert. Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt =$ 2 ms.

Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet: $$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$ Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein: $$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j2 \pi}f \tau}.$$ Für die Teilaufgaben a) bis d) gelte $τ =$ 0 und damit $H(f) = H_1(f)$. Mit dem Parameter $τ =$ 0 kann hierfür auch geschrieben werden ( $Δt =$ 2 ms): $$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$ Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠$ 0 nicht anwendbar ist: $$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.3.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung, dass $H_1(f = 0) =$ 1 gelten soll.

$k =$ 1/s

2

Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t =$ 0 symmetrisches Rechteck der Dauer $T =$ 2 ms und der Höhe 1 V. Es gelte $τ =$ 0. Welche Aussagen sind zutreffend?

	$y(t)$ ist rechteckförmig.
	$y(t)$ ist dreieckförmig.
	$y(t)$ ist trapezförmig.
	Der Maximalwert von $y(t)$ ist 1 V.

3

Welche Aussagen treffen zu, wenn $x(t)$ die Rechteckbreite $T =$ 1 ms besitzt?

	$y(t)$ ist rechteckförmig.
	$y(t)$ ist dreieckförmig.
	$y(t)$ ist trapezförmig.
	Der Maximalwert von $y(t)$ ist 1 V.

4

Es gelte weiter $τ =$ 0. Berechnen Sie das Ausgangssignal $z(t)$, wenn $x(t)$ zum Zeitpunkt $t =$ 0 von 0 auf 1 V springt. Welche Aussagen treffen zu?

	$z(t)$ ist eine gerade Funktion der Zeit.
	$z(t)$ weist bei $t =$ 0 eine Sprungstelle auf.
	Zum Zeitpunkt $t =$ 0 ist $z(t) =$ 0.
	Für $t >$ 1 ms ist $z(t) =$ 0.

5

Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit $τ =$ 1 ms ist? Welcher Signalwert tritt bei $t =$ 1 ms auf?

$z(t = 1 \rm \ ms) =$ V

Musterlösung

Musterlösung

a) Die Bedingung $H(f = 0) =$ 1 bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich 1 ist. Daraus folgt: $$k = \frac{1}{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$

b) Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$. Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t =$ 0: $$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int\limits_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int\limits_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$ Richtig sind somit die $\rm \underline{ \ Vorschläge \ 2 \ und \ 4}$.

c)

Die Faltung von zwei unterschiedlich breiten Rechtecken führt zu einem trapezförmigen Ausgangssignal entsprechend der Skizze. Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von –0.5 ms bis 0.5 ms auf und beträgt

$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$ Richtig ist somit nur $\rm \underline{ \ die \ dritte \ Alternative}$.

d)

Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet:

$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$$ Diese beiden Anteile sind in der Skizze dargestellt. Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit 1 V kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. In der unteren Skizze ist das Integral über $δ(t)$ blau, die Funktion $–σ(t)$ rot und das gesamte Signal $z(t)$ grün gezeichnet.

$z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t =$ 0: Der Signalwert bei $t =$ 0 liegt genau in der Mitte zwischen dem links- und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit 0. Für $t >$ 1 ms gilt ebenfalls $z(t) =$ 0, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist. Richtig sind somit die $\rm \underline{ \ Vorschläge \ 2, \ 3 \ und \ 4}$.

e) Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, die bei $t =$ 0 auf 1 springt und bis zum Zeitpunkt $t =$ 2 ms auf den Endwert 0 abklingt. Zum Zeitpunkt $t =$ 1 ms ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) =$ 0.5.

Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit 1 V zu multiplizieren. Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 =$ 1 ms ergibt sich zu $z(t_1) \rm \underline{\ = \ 0.5}$.