Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen

1. Lineare zeitinvariante Systeme
2. Systemtheoretische Grundlagen
3. Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen

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Allgemeine Bemerkungen

Alle auf den nächsten Seiten beschriebenen Tiefpassfunktionen weisen die folgenden Eigenschaften auf:

• Der Frequenzgang $H(f)$ ist stets reell und gerade, so dass nach dem Zuordnungssatz auch die zugehörige Impulsantwort $h(t)$ stets reell und gerade ist.
• Damit ist offensichtlich, dass die hier betrachteten Systeme akausal und somit nicht realisierbar sind. Die Beschreibung kausaler Systeme erfolgt im Kapitel 3 dieses Buches.
• Der Vorteil dieser systemtheoretischen Filterfunktionen ist die einfache Beschreibung durch maximal zwei Parameter, so dass der Filtereinfluss durchschaubar dargestellt werden kann.
• Der wichtigste Funktionsparameter ist die äquivalente Bandbreite entsprechend der Definition über das flächengleiche Rechteck:

$$\Delta f = \frac{1}{H(f=0)}\cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty}H(f) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$

• Nach dem so genannten Reziprozitätsgesetz liegt somit auch die äquivalente Zeitdauer der Impulsantwort fest, die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definiert ist:

$$\Delta t = \frac{1}{h(t=0)}\cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{\Delta f}.$$

• Der Gleichsignalübertragungsfaktor wird – wenn nicht explizit etwas Anderes vermerkt ist – stets zu $H(f$ = 0) = 1 angenommen.
• Aus jeder Tiefpassfunktion lassen sich entsprechende Hochpassfunktionen ableiten, wie auf der letzten Theorieseite dieses Abschnitts gezeigt wird.

Idealer Tiefpass – Küpfmüller–Tiefpass (1)

Man bezeichnet einen Tiefpass als ideal, wenn sein Frequenzgang wie folgt lautet: $$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ 0.5 \\\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f/2,} \\{\left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| = \Delta f/2,} \\{\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > \Delta f/2.} \\\end{array}$$ Wir verwenden teilweise auch die Bezeichnung „Küpfmüller-Tiefpass” (KTP) in Erinnerung an den Pionier der Systemtheorie, Karl Küpfmüller.

Die Grafik zeigt einen solchen idealen Tiefpass im Frequenz– und Zeitbereich.

Man erkennt aus diesem Kurvenverläufen:

• Aufgrund des abrupten, unendlich steilen Flankenabfalls ist hier die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ genau halb so groß wie die systemtheoretische Bandbreite $Δf$.
• Alle Spektralanteile mit $f$ < $f_{\rm G}$ werden unverfälscht durchgelassen (Durchlassbereich), alle Anteile mit $f$ > $f_{\rm G}$ vollständig unterdrückt (Sperrbereich). Bei $f$ = $f_{\rm G}$ gilt $H(f)$ = 0.5.

Hinweis: Die Beschreibung im Zeitbereich finden Sie nachfolgend.

Idealer Tiefpass – Küpfmüller–Tiefpass (2)

Kommen wir nun zur Beschreibung des idealen Tiefpasses im Zeitbereich:

• Die Impulsantwort ergibt sich entsprechend der Fourierrücktransformation zu

$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t)\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) =\frac{\sin(x)}{x}.$$

• Die beidseitig bis ins Unendliche ausgedehnte Zeitfunktion weist äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $Δt$ = 1/ $Δf$ auf (siehe rechte untere

Grafik).

• Der asymptotische Abfall erfolgt umgekehrt proportional mit der Zeit:

$$|h(t)| = \frac{\Delta f}{\pi \cdot \Delta f \cdot |t|} \cdot \left |{\rm sin}(\pi \cdot \Delta f\cdot t )\right | \le \frac{1}{\pi \cdot |t|}.$$

• Daraus folgt, dass die Impulsantwort erst für Zeiten $t$ > $t_{1‰}$ = 318 · $Δt$ mit Sicherheit kleiner als 1‰ des Impulsmaximums ist.
• Die Sprungantwort ergibt sich aus der Impulsantwort durch Integration und lautet:

$${\rm \sigma}(t) = \int\limits_{ - \infty }^{ t } {h ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot {\rm Si}(\pi \cdot\Delta f \cdot t ).$$

• Hierbei ist die so genannte Integral–Sinusfunktion

$${\rm Si}(x) = \int\limits_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi = x - \frac{x^3}{3 \cdot 3!} + \frac{x^5}{5 \cdot 5!} - \frac{x^7}{7 \cdot 7!}+ ...$$

verwendet, die folgende Eigenschaften besitzt:

$${\rm Si}(0) = 0, \hspace{0.3cm}{\rm Si}(\infty) = \frac{\pi}{2}, \hspace{0.3cm}{\rm Si}(-x) = -{\rm Si}(x).$$

Hinweis: In manchen Büchern wird statt der Funktion si(x) die ähnliche Funktion sinc(x) verwendet: $${\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{\rm sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = {\rm si}(\pi x).$$ In diesem Fall lautet die Impulsantwort des idealen Tiefpasses $h(t)$ = $Δf · {\rm sinc}(Δf · t).$

Spalttiefpass

Man bezeichnet ein LZI–System als Spalttiefpass, wenn der Frequenzgang die folgende Form hat: $$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ \Delta f})\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) =\frac{\sin(x)}{x}.$$

Aus der linken Grafik ist zu erkennen, dass der Frequenzgang $H_{\rm STP}(f)$ des Spalttiefpasses formgleich mit der Impulsantwort $h_{\rm KTP}(t)$ des Küpfmüllertiefpasses ist.

Nach dem Vertauschungssatz muss deshalb auch die Impulsantwort $h_{\rm STP}(t)$ des Spalttiefpasses die gleiche Form wie der Frequenzgang $H_{\rm KTP}(f)$ des idealen Tiefpasses aufweisen. Mit $Δt$ = 1/ $Δf$ gilt somit: $$h(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}\Delta f \\ \Delta f/2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t/2,} \\ {\left| \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \right| = \Delta t/2,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > \Delta t/2.} \\ \end{array}$$ Anhand obiger Grafik sind folgende Aussagen ableitbar:

• Auch der Spalttiefpass ist in dieser Form akausal. Durch eine zusätzliche Laufzeit von $Δt/2$ wird das System jedoch kausal und damit realisierbar.
• Der Spalttiefpass wirkt als Integrator über die Zeitdauer $Δt$:

$$y(t) = x (t) * h (t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ t - \Delta t/2 }^{ t + \Delta t/2 } {x ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

• Ist $x(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_0$ = $k · Δf$ ( $k$ ganzzahlig), so wird genau über $k$ Perioden integriert und es gilt $y(t)$ = 0. Dies zeigen auch die Nullstellen von $H(f)$.

Gauß–Tiefpass

Eine häufig für systemtheoretische Untersuchungen verwendete Filterfunktion ist der Gaußtiefpass, der ebenfalls durch nur einen Parameter, nämlich die äquivalente Bandbreite $Δf$, beschreibbar ist.

Für den Frequenzgang und die Impulsantwort des Gaußtiefpasses gelten: $$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\Delta f \cdot \hspace{0.03cm} t)^2} .$$

Der Name geht auf den Mathematiker, Physiker und Astronomen Carl-Friedrich Gauß zurück. Gauß hat sich zwar nicht selber mit dieser Thematik auseinandergesetzt, aber die mathematische Form von Frequenzgang und Impulsantwort weisen eine Ähnlichkeit mit der so genannten Gaußformel auf, die er für die Wahrscheinlichkeitsrechnung gefunden hat.

Anhand obiger Grafik können folgende Aussagen getroffen werden:

• Die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Impulsdauer $Δt$ ist gleich dem Kehrwert der äquivalenten Bandbreite $Δf$.
• Eine schmalbandige Filterfunktion (kleines $Δf$) führt zu einer breiten (großes $Δt$) und gleichzeitig niedrigen Impulsantwort $h(t)$. Das Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite lässt sich am Beispiel des Gaußtiefpasses besonders anschaulich zeigen.
• Die Frequenz– und Zeitbereichsdarstellungen sind prinzipiell von gleicher Form. Man sagt auch, dass die Gaußfunktion invariant gegenüber der Fouriertransformation ist.
• Aufgrund der unendlichen Ausbreitung seiner Impulsantwort ist der Gaußtiefpass ebenso wie der ideale Tiefpass stark akausal und (exakt) nur mit unendlich großer Laufzeit realisierbar.
• Allerdings ist zu berücksichtigen, dass $h(t)$ bereits bei $t$ = 1.5 · $Δt$ auf 0.1% seines Maximalwertes abgeklungen ist. Für $t$ = 3 · $Δt$ ergibt sich sogar $h(t) ≈ 5 · 10^{–13} · h(0)$.
• Diese Zahlenwerte machen deutlich, dass man den Gaußtiefpass durchaus auch für praxisnahe Simulationen heranziehen kann, solange Laufzeiten keine systembegrenzende Rolle spielen.
• Die Sprungantwort $σ(t)$ lautet mit der Gaußschen Fehlerfunktion $ϕ(x)$, die in Formelsammlungen meist tabellarisch angegeben wird:

$$\sigma(t) = \int\limits_{ -\infty }^{ t } {h(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = {\rm \phi}\left( \sqrt{2 \pi }\frac{t}{\Delta t} \right) \hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot \int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$

Trapeztiefpass (1)

Die bisher in diesem Kapitel beschriebenen Tiefpassfunktionen hängen nur von einem Parameter – der äquivalenten Bandbreite $Δf$ – ab. Dabei war die Flankensteilheit für einen gegebenen Filtertyp fest vorgegeben. Nun wird ein Tiefpass beschrieben, bei dem auch die Flankensteilheit parametrisierbar ist.

Der Frequenzgang des Trapeztiefpasses lautet mit den Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ ≥ $f_1$: $$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \frac{f_2 -|f|}{f_2 -f_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\hspace{0.94cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_1,} \\ {f_1 \le \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\ {\hspace{0.94cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > f_2.} \\ \end{array}$$

Anstelle von $f_1$ und $f_2$ kann man zur Beschreibung von $H(f)$ auch folgende Parameter verwenden:

• die äquivalente Bandbreite, ermittelt über das flächengleiche Rechteck:

$$\Delta f = f_1 + f_2.$$

• der Rolloff-Faktor (im Frequenzbereich) als Maß für die Flankensteilheit:

$$r_f = \frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1}.$$ Als Sonderfälle sind in der allgemeinen Darstellung der ideale rechteckförmige Tiefpass $(r_f = 0)$ sowie der Dreiecktiefpass $(r_f = 1)$ enthalten. Die nachfolgende Grafik zeigt $H(f)$ sowie die Impulsantwort $$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t )\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x},$$ wobei der Rolloff–Faktor $r_f$ = 0.5 (d. h. $f_2 = 3f_1)$ zugrunde liegt. Der si–Verlauf des rechteckförmigen Tiefpasses mit gleicher äquivalenter Bandbreite ist zum Vergleich gestrichelt eingezeichnet.

Hinweis: Die Interpretation dieser Grafik folgt im nächsten Abschnitt.

Trapeztiefpass (2)

Die obenstehende Grafik sowie Gleichungen erlauben folgende Aussagen:

• Die Trapezform entsteht z. B. durch die Faltung zweier Rechtecke der Breiten $Δf$ und $r_f Δf$.
• Entsprechend dem Faltungssatz ist somit die Impulsantwort das Produkt zweier si–Funktionen mit den Argumenten $π · Δf · t$ und $π · rf · Δf · t$.
• Die erste si–Funktion ist für alle Werte von $r_f$ Bestandteil der Gleichung für $h(t)$ und führt stets zu äquivalenten Nulldurchgängen im Abstand $1/Δf$.
• Für 0 < $r_f$ < 1 gibt es weitere Nullstellen bei Vielfachen von $Δt/r_f$.
• Der asymptotische Abfall der Impulsantwort $h(t)$ erfolgt um so schneller, je größer $r_f$ ist, d. h. bei gegebenem $Δf$ mit flacherer Flanke. Der schnellstmögliche Abfall ergibt sich beim Dreiecktiefpass ⇒ $r_f$ = 1, $f_1$ = 0, $f_2$ = $Δf$. Für diesen gilt im Frequenz– und Zeitbereich:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm} \frac{{\rm \Delta}f -|f|}{{\rm \Delta}f} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\hspace{1cm} \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le {\rm \Delta}f ,} \\ {\hspace{1cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| \ge {\rm \Delta}f ,} \\ \end{array}$$ $$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}^2(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\hspace{0.4cm}{\rm{mit}}\hspace{0.4cm}{\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x}.$$

Cosinus-Rolloff-Tiefpass (1)

Ebenso wie der Trapeztiefpass wird dieser Tiefpass durch zwei Parameter beschrieben, nämlich durch die äquivalente Bandbreite $Δf$ und den Rolloff–Faktor $r_f$. Dessen Wertebereich liegt zwischen $r_f$ = 0 (Rechtecktiefpass) und $r_f$ = 1 (Cosinus–Quadrat–Tiefpass).

Der Frequenzgang des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses lautet mit den zwei Eckfrequenzen $f_1$ = $Δf · (1 – r_f)$ und $f_2$ = $Δf · (1 + r_f)$: $$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \cos \left( \frac{|f|- f_1}{f_2 -f_1}\frac{\pi}{2}\right) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\hspace{0.94cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_1,} \\ {f_1 \le \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\ {\hspace{0.94cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > f_2.} \\ \end{array}$$

Die nachfolgende Grafik zeigt $H(f)$ sowie die Impulsantwort $$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t )}{1 - (2 \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t)^2}.$$

Für diese Grafiken wurde der Rolloff–Faktor $r_f$ = 0.5 verwendet, das heißt, es gilt $f_2$ = 3 · $f_1$. Gestrichelt sind zum Vergleich

• im Frequenzbereich der Trapeztiefpass und
• im Zeitbereich die si–Funktion

eingezeichnet. Es ist zu beachten, dass die si-Funktion nicht die Fourierrücktransformierte des links blau eingezeichneten Trapeztiefpasses ist. Sie beschreibt vielmehr den idealen, rechteckförmigen Tiefpass im Zeitbereich.

Hinweis: Die Interpretation dieser Grafik folgt nachfolgend.

Cosinus-Rolloff-Tiefpass (2)

Anhand der oben gezeigten Grafik (Cosinus–Rolloff–Tiefpass und zugehörige Impulsantwort) und den obigen Gleichungen sind folgende Aussagen möglich:

• Die Impulsantwort $h(t)$ hat bei allen Vielfachen von $Δt = 1/Δf$ Nullstellen, die auf die im rechten Bild gestrichelt eingezeichnete si–Funktion zurückzuführen sind.
• Der letzte Term in der $h(t)$ –Gleichung führt zu weiteren Nullstellen bei Vielfachen von $Δt/r_f$. Ist $1/r_f$ ganzzahlig wie in obiger Grafik $(1/r_f$ = 2), so fallen diese mit den anderen Nullstellen zusammen.
• Je größer der Rolloff-Faktor $r_f$ ist und je flacher damit der Flankenabfall erfolgt, desto günstiger ist im Allgemeinen das Einschwingverhalten des Cosinus-Rolloff-Tiefpasses.
• Der Cosinus–Rolloff–Tiefpass zeigt meist ein besseres asymptotisches Einschwingverhalten als der Trapeztiefpass mit gleichem $r_f$, obwohl dieser zumindest bei $Δf/2$ eine flachere Flanke aufweist.
• Dies lässt darauf schließen, dass das Einschwingverhalten nicht nur durch Unstetigkeitsstellen (wie beim Rechteck), sondern auch durch Knickpunkte wie beim Trapeztiefpass beeinträchtigt wird.
• Als Sonderfall ergibt sich mit $f_1$ = 0, $f_2$ = $Δf$ ⇒ $r_f$ = 1 der Cosinus–Quadrat–Tiefpass, dessen Impulsantwort auch wie folgt dargestellt werden kann:

$$h(t) = \frac{1}{ \Delta t}\cdot{\rm si}(\pi \frac{t}{ \Delta t}) \cdot \left[ {\rm si}(\pi \frac{t}{ \Delta t} + 0.5) - {\rm si}(\pi \frac{t}{ \Delta t} - 0.5) \right].$$

• Diese Funktion hat Nullstellen bei $t/Δt$ = ±1, ±1.5, ±2, ±2.5 usw., nicht jedoch bei $t/Δt$ = ±0.5. Im Buch „Digitalsignalübertragung” wird gezeigt, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass die beiden so genannten Nyquistkriterien erfüllt.

Herleitung systemtheoretischer Hochpassfunktionen

In diesem Kapitel wurden fünf häufig verwendete systemtheoretische Tiefpassfunktionen betrachtet. Für jede einzelne Tiefpassfunktion lässt sich auch eine äquivalente Hochpassfunktion angeben.

Ist $H_{\rm TP}(f)$ eine systemtheoretische Tiefpassfunktion mit $H_{\rm TP}(f = 0)$ = 1, so gilt für die äquivalente Hochpassfunktion: $$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$

Damit lauten die Beschreibungsgrößen im Zeitbereich: $$ \begin{align*} h_{\rm HP}(t) & = \delta (t) - h_{\rm TP}(t),\\ \sigma_{\rm HP}(t) & = \gamma (t) - \sigma_{\rm TP}(t). \end{align*} $$ Hierbei bezeichnen:

• $h_{\rm HP}(t)$ und $h_{\rm TP}(t)$ die Impulsantworten von Hoch– und Tiefpass,
• $σ_{\rm HP}(t)$ und $σ_{\rm TP}(t)$ die dazugehörigen Sprungfunktionen,
• $γ(t)$ die Sprungfunktion als Ergebnis der Integration über die Diracfunktion $δ(t)$.

Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen si–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort auszeichnet. Diese sind in der nachfolgenden Grafik dargestellt.

Die untere Skizze zeigt die entsprechenden Hochpassfunktionen. Man erkennt, dass

• $H_{\rm HP}(f = 0)$ immer den Wert 0 besitzt, wenn $H_{\rm TP}(f = 0)$ = 1 ist,
• demzufolge das Integral über $h_{\rm HP}(t)$ ebenfalls 0 ergeben muss und
• auch die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$ gegen den Endwert 0 tendiert.

Aufgaben

1.5 Küpfmüller-Tiefpass

1.6 Rechteckige Impulsantwort

1.7 Nahezu kausaler Gaußtiefpass